matematikk.net

sliter med en innleveringsoppgave.. skl finne legemets masse vhs integrasjon i kulekoordinater.. har fått oppgitt at radius er 1 og skl regne origo som sentrum

og tettheten er; 1-p^2

har funnet ut at jg må gange med 8 og får da grensene til å bli:

0<ro<1
0<theta<pi\2
0<pfi<pi\2

må j ha med tilleggsfaktoren p^2sin(theta)??

og hvordan regner jg ut trippelintegranden?

[tex]M=\iiint \,dm=\iiint m\,dV=\iiint (1-r^2)r^2\sin(\theta)d\phi d\theta dr[/tex]

Dersom massetettheten er [tex]m=m(r)=1-r^2 [/tex] (slik jeg tolker det) kan vi utnytte at tettheten kun avhenger av radien. Siden overflatearealet av en kule med radius [tex]r[/tex] er [tex]4\pi r^2[/tex] forenkles integralet:

[tex]M=\int_0^1 4\pi r^2(1-r^2)\,dr=4\pi[\frac{1}{3}r^3-\frac{1}{5}r^5]_0^1=4\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{8\pi}{15} [/tex]

Evt. kunne vi regnet ut integralet

[tex]\int_{0}^{2\pi}\,\int_{0}^{\pi}\sin(\theta)\,d\theta d\phi\\=2\pi\int_{0}^{\pi}\sin(\theta)\,d\theta=2\pi [\cos(\theta)]_{\pi}^{0}=2\pi(\cos(0)-\cos(\pi))=2\pi(1+1)=4\pi[/tex]

Har jo at

[tex]\iiint (1-r^2)r^2\sin(\theta)d\phi d\theta dr=\int_{0}^{2\pi}\,\int_{0}^{\pi}\sin(\theta)\,d\theta d\phi \cdot \int_0^1 r^2(1-r^2)\,dr=\frac{8\pi}{15}[/tex].

Denne metoden er såklart mye mer tungvint, men er nok fin å utføre minst én gang for øvelsens skyld.