matematikk.net

Posted: **29/04-2009 12:46**

Edit 2:
Se innlegg under for den ordentlige nøtten.

Jeg slurvet litt og lagde en enkel oppgave først:
Finn x.
[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = 8[/tex]

Posted: **29/04-2009 12:48**

Nei forresten...

Den var jo ikke det minste vanskelig.

Posted: **29/04-2009 13:19**

Denne lukter det jo "knep" av lang vei!
Jeg brukte derimot "brute force":

[tex]\sqrt{x+3} + \sqrt{x+5} = 8[/tex]

[tex](x+3) + 2 \sqrt{x+3}\sqrt{x+5} + (x+5) = 64[/tex]

[tex]2x + 8 + 2\sqrt{(x+3)(x+5)} = 64[/tex]

[tex]sqrt{x^2+8x+15} = 28 - x[/tex]

[tex]x^2 + 8x + 15 = x^2 - 56 x + 28^2[/tex]

[tex]64x = 769[/tex]

[tex]x = \frac{769}{64}[/tex]

Opphøyer i andre på hver side av likhetstegnet i to omganger, og romsterer rundt på leddene.

EDIT: men hva hvis heltallene er vilkårlige heltall?
Fortsatt brute force:
a = 3, b = 5, c = 8

[tex]\sqrt{x+a} + \sqrt{x+b} = c[/tex]

[tex](x+a) + 2 \sqrt{x+a}\sqrt{x+b} + (x+b) = c^2[/tex]

[tex]2x + (a+b) + 2\sqrt{(x+a)(x+b)} = c^2[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+(a+b)x+ab} = \frac{c^2 - (a+b)}{2} - x[/tex]

[tex]x^2 + (a+b)x + ab = x^2 - (c^2-(a+b)) x + (\frac{c^2 - (a+b)}{2})^2[/tex]

[tex]c^2 x = (\frac{c^2 - (a+b)}{2})^2 - ab[/tex]

[tex]x = \frac{a^2+b^2+c^4-2(ab+ac^2+bc^2)}{4 c^2}[/tex]

Kan dette siste skrives noe vakrere?

EDIT:
[tex] x = \frac{(a-b)^2 + c^2(c^2-2a-2b)}{4 c^2}[/tex]

[tex]x = (\frac{a-b}{2c})^2 + \frac{c^2 - 2a - 2b}{4}[/tex]

Posted: **29/04-2009 13:25**

Ah, så det var noen som rakk å se oppgaven før jeg fikk redigert den bort.

Akkurat den jeg postet var jo ikke noe spesielt vanskelig, som jeg hintet til over. Var ikke helt den oppgavetypen jeg hadde tenkt. Men hva om man gjør en liten endring:

[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = x + 8[/tex]

Løs den om du klarer! I dare you!

Edit:
Eller... knoter visst fælt i dag.

Dette blir jo bare en fjerdegradsligning.
Kommer tilbake med en oppgave litt senere, må bare se om jeg klarer å finne den først.

Posted: **29/04-2009 16:42**

Nei, klarer ikke å finne den. En av moderatorene må gjerne slette denne tråden. (Føler det er like før jeg mister ansikt her inne

).

Posted: **29/04-2009 18:53**

Vært der jeg og...

Posted: **29/04-2009 19:00**

Bedre å miste ansikt enn aldri å vise ansikt.

Posted: **29/04-2009 19:07**

Er det noen her som kan løse fjerdegradsligninger, da? Det ville være interessant om noen kunne vise fremgangsmåten.

Posted: **29/04-2009 19:10**

Markonan wrote:[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = x + 8[/tex]

Hvis man studerer denne ligningen litt og tenker over hva røtter er, får man raskt en mistanke om at denne ikke har løsninger. Det er også tilfellet; høyresiden er alltid større enn venstresiden.

Kjapt bevis

[tex](x+6)^2+8 \ > \ 0 \ \Leftrightarrow \ (x+8)^2 \ > \ 4(x+5)[/tex]

Ta kvadratrota på begge sider (en strengt voksende funksjon, så det er lov), og vi får

[tex]x+8 \ > \ 2 \sqrt{x+5} \ > \ \sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}[/tex]

Så denne har ikke løsninger

Posted: **29/04-2009 19:11**

193 wrote:Er det noen her som kan løse fjerdegradsligninger, da? Det ville være interessant om noen kunne vise fremgangsmåten.

http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

Evig lang prosess å løse slike, og man gjør det som regel aldri for hånd.

Posted: **29/04-2009 19:27**

BMB wrote:
Markonan wrote:[tex]\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 5} = x + 8[/tex]
Hvis man studerer denne ligningen litt og tenker over hva røtter er, får man raskt en mistanke om at denne ikke har løsninger. Det er også tilfellet; høyresiden er alltid større enn venstresiden.

Kjapt bevis

[tex](x+6)^2+8 \ > \ 0 \ \Leftrightarrow \ (x+8)^2 \ > \ 4(x+5)[/tex]

Ta kvadratrota på begge sider (en strengt voksende funksjon, så det er lov), og vi får

[tex]x+8 \ > \ 2 \sqrt{x+5} \ > \ \sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}[/tex]

Så denne har ikke løsninger

Du viser vel at den ikke har noen reelle løsninger, men den har komplekse løsninger.

Sjekker i Matlab.

Code: Select all

>> syms x
>> solve('sqrt(x + 3) + sqrt(x + 5) = x + 8', x)
 
ans =
 
 -3+(1/2+1/6*3^(1/2)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*(-(102*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+3*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+948*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-18*3^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)/((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2))^2

 -3+(1/2+1/6*3^(1/2)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+1/6*(-(102*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+3*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+948*((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-18*3^(1/2)*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)/((-17*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(2/3)+316)/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2))^(1/2))^2

Posted: **29/04-2009 22:13**

Med "simple" i matlab (maple)

Code: Select all

 -7+1/6*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)+1/6*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)+1/18*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)+1/2/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2)
 
-7+1/6*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)-1/6*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)-1/18*3^(1/2)*(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*(-102-3*(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)-948/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+18/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2))^(1/2)+1/2/(-17+(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3)+316/(-5588+12*i*2283^(1/2))^(1/3))^(1/2)*3^(1/2)

Pent svar.

Posted: **29/04-2009 22:20**

Forøvrig ingen overraskelse at den hadde komplekse røtter. Alle n-tegradspolynomer med reelle koeffisienter har n røtter (om man teller med multiplisitet).

Posted: **29/04-2009 22:21**

Simple var en genial kommando. Var ikke klar over den!

Posted: **30/04-2009 18:54**

Den ligningen minner meg om dette integralet. Det hadde også en rimelig komplisert løsning.

[tex]I=\int \frac{x}{\sqrt{x^3-1}}\rm{d}x[/tex]

De interreserte kan prøve Quickmath eller Mathematica integrator.

matematikk.net

Vanskelig algebranøtt?

Vanskelig algebranøtt?