matematikk.net

Evaluer [tex] \int (x+y)ds [/tex] hvor C er det rette linjestykket x=t,
y=(1-t), z=0 fra (0,1,0) til (1,0,0)

Vi skriver om til formen:

r(t)=ti+(1-t)j



Deretter finner vi |v(t)|

[tex] |v(t)|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} [/tex]

Så har vi sammenhengen



Vi har sammenhengene:

x=t og y=1-t x+y=t+(1-t)=1



[tex]\int f(t,1-t,0)|\frac{dr}{dt}dt [/tex] med grenser fra 0 til 1

[tex]\int 1|sqrt{2}dt [/tex] med grenser fra 0 til 1

[tex]sqrt{2}[/tex]
Dette svaret er samordnet med fasiten som viser utregning. Men hvorfor går grensene fra 0 til 1?

x går fra 0 til 1 og y går fra 1 til 0.

Fordi parametriseringen er gitt slik at x(0)=0, y(0)=1,x(1)=1,y(1)=0

Tenker du på at siden y=1-t og y går fra 1 til 0 vil vil y i praksis bli y=1-1=0 og y=1-0=1 som er de samme grensene som for x?

En parametrisering av en kurve [tex]C[/tex] med endepunkter i to dimensjoner er generelt gitt slik:

[tex]\vec{r(t)}=\langle x(t),y(t)\rangle \\ t\in [0,1][/tex]

Takk jeg kan se at siden y=1-t vil den gå fra 1 til 0 når t går fra 0 til 1.

I det hele tatt synes jeg parameterisering er vanskelig

Her er en annen oppgave:

Arbeid: Finn arbeidet gjort av kraften

[tex]F=xyi-(y-x)j[/tex] over den rette linjen fra (1,1) til (2,3)

Jeg har funnet en metode som man kan skrive om to koordinatpunkter til en parameterisering gitt ved t:

[tex]x=(1-t)x0+tx1[/tex] [tex]y=(1-t)y0+ty1[/tex]

For oppgaven blir det:


[tex]x=(1-t)1+t\cdot 2=1+t[/tex] [tex]y=(1-t)1+t\cdot 3=1+2t[/tex]

Hvorfor dette fungerer vet jeg imedlertid ikke

Da blir [tex]F=(1+t)(1+2t)i + 1+2t-(1+t)j[/tex]

[tex]F=(1+3t+2t^2)i + tj[/tex]

Og



[tex]r=1+ti + 1+2tj[/tex]

[tex]\frac{dr}{dt}=i+2j[/tex]

og

[tex]F\cdot \frac{dr}{dt}=1+5t+2t^2[/tex]

Og vi får integralet:


[tex]\int 1+5t+2t^2 dt[/tex]

Men hvordan finner man grensene? De skal være fra 0 til 1, men hvordan ser man dette? Og hvis noen vet hvorfor utregningen av parameteriseringen for x og y gitt ovenfor fungerer blir jeg veldig glad altså at

[tex]x=(1-t)x0+tx1[/tex] [tex]y=(1-t)y0+ty1[/tex]

La oss si at vi skal finne en parametrisering av en rett linje mellom punktene [tex](a,b)[/tex] og [tex](c,d)[/tex].

Da må [tex]x(0)=a[/tex] og [tex]x(1)=c[/tex], så vi lar [tex]x(t)=(1-t)a +tc=(c-a)t+a[/tex]

På samme vis må [tex] y(0)=b[/tex] og [tex]y(1)=d[/tex] så vi lar [tex]y(t)=(1-t)b+td=(d-b)t+b[/tex].



For å se at dette blir en rett linje skriver vi

[tex]t=\frac{x-a}{c-a}[/tex] og setter inn i uttrykket for [tex]y[/tex], så vi får

[tex]y=(d-b)\frac{x-a}{c-a}+b=\frac{d-b}{c-a}x+\frac{a(d-b)}{a-c}+b[/tex], altså på formen til en rett linje (y=ax+b).