matematikk.net

La F være et vektorfelt med kontinuerlige partiellderiverte, definert i hele rommet. La
S og S' være to orienterte, stykkevis glatte flater med felles positivt orientert randkurve
C, der C er en orientert, enkel, lukket og stykkevis glatt kurve i rommet.
Gjør rede for at hvis [tex]\nabla[/tex]· F = 0 så er

[tex]\int\int [/tex]F · n dS=[tex]\int\int F[/tex]·n dS hvor integralet på venste side er den utgående fluksen til S og integralet på høyre side er den utgående fluksen til S'.

I fasiten har de skrevet at de to ytre normalvektoren til S og S' har forskjellig fortegn. Hvordan ser man det når det står i oppgaven at de to flatene har felles positivt orientert randkurve Hva er da betingelsen for hvilken vei n går og hvordan finner man ut dette fra den informasjonen som denne oppgaven gir?

Dette er avskrift fra fiasit:

La T være legemet begrenset av (dvs. med overflate) S og S'. Ytre enhetsnormal er n på
den ene delen og −n på den andre. Bruker vi n på S og −n på S', gir divergensteoremet:

[tex]\int\int [/tex]F· n dS +[tex] \int\int [/tex]F· (-n) dS=[tex] \int\int\int \nabla[/tex]·F dV=0

Hvor det første dobbeltintegralet er til S og det andre er til S'.

Følgelig er [tex]\int\int[/tex] F· n dS +[tex] \int\int[/tex] F· (-n) dS=[tex]-\int\int [/tex]F· (-n) dS

Limer du orienterte skiver på C vil disse ha to sider, si opp og ned. Bruk f.eks høyrehåndsregelen (tommelfinger) for å definere hvilken side som er opp/ut.

Normalvektoren, [tex]\vec{n}[/tex], er definert i forhold til side, så da blir det fort klart at vi må snu normalvektoren i integralet over én av flatene.

Dette er kanskje et dumt spørsmål men hvorfor kan ikke de to flatene ligge på samme side av C? De er begge positivt orientert dvs. at de går rundt i samme retning mot klokka.

Spørsmål nummer to har jeg skjønt det riktig at hvism an ser kurven ved å se oppover vil normalvektoren gå innover. Hvis man ser på kurven nedover vil normalvektoren gå utover?

gill wrote:Dette er kanskje et dumt spørsmål men hvorfor kan ikke de to flatene ligge på samme side av C? De er begge positivt orientert dvs. at de går rundt i samme retning mot klokka.

Spørsmål nummer to har jeg skjønt det riktig at hvism an ser kurven ved å se oppover vil normalvektoren gå innover. Hvis man ser på kurven nedover vil normalvektoren gå utover?

At en flate er orientert, eller orienterbar, betyr bare at du har to sider av flata, slik at det er umulig å bevege seg på flata slik at du ender opp på andre sida (meget uformelt sagt). F.eks er Møbius' båndet ikke-orienterbart.

Hva mener du med "på samme side som C"?

Eksempel:

Hvis du ser på en kule med sentrum i origo og radius 1 der C er enhetssirkelen i xy-planet, kan du se på nordlige og sørlige halvkule som de to flatene S_1 og S_2. At C er positivt orientert betyr at man går langs C mot klokka sett overfra og ned på xy-planet.

Dersom vi definerer enhetsnormalvektoren [tex]\vec{n}[/tex] i positiv omløpsretning i forhold til C, vil den peke utover (ut av kula) på nordlig halvkule, og innover (inn i kula) på sørlige. Derfor må vi snu normalvektoren (ved å tilføye -) når vi integrerer over sørlige halvkule.