matematikk.net

La T være legemet begrenset av de to flatene [tex]S1: z=x^2+3y^2[/tex]og[tex]s2: z=9-3x^2-y^2[/tex]

og la [tex]F(x,y,z)=x^3i+4zj+yk[/tex]

a) Finn massen til T når massetettheten er [tex]x^2[/tex]

Ikke noe problem. Regnet om til sylinderkoordinater og ganget med uttrykket for massetettheten og integrerte og fikk riktig svar: [tex]\frac{243}{64} \pi [/tex]

b) La D1 være den delen av overflaten til T som ligger på S1, og la D2 være den delen av overflaten til T som ligger på S2. Beregn

[symbol:integral] [symbol:integral] [tex]F\cdot n dS[/tex] til D1

når det er kjent at

[symbol:integral] [symbol:integral] [tex]F\cdot n dS[/tex] til D2 er

[tex]\frac{2187}{256}[/tex] [symbol:pi]

og n er den utadrettede enhetsnormalen til overflaten av T

Poenget var å finne divergensen til hele området og deretter å trekke fra den gitte divergensen til D2

Jeg fant divF: [tex]3x^2[/tex] og skulle gange denne med massen men hva blir x? I fasiten står det:

[symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] divFdV= [symbol:integral] [symbol:integral] F [tex]\cdot[/tex]ndS+ [symbol:integral] [symbol:integral] F[tex]\cdot[/tex]n dS

hvor venstre side er divergens til hele området og høyre side er divergensen til henholdsvis D1 og D2

Vi fant divF: [tex]3x^2[/tex] så integralet på venstre side blir 3m, og dermed er

[symbol:integral] [symbol:integral] F[tex]\cdot[/tex]n dS til D1:[tex]3\frac{243}{64}\pi-\frac{2187}{256}\pi[/tex]

To spørsmål: Hva mener de med 3m? Og det at n er den utadrettede enhetsnormalen til overflaten av T betyr det at fluksen går utover?

Jeg har funnet ut hvorfor man kan gange med tre siden det forrige integralet i a var volumet til området ganget med [tex]x^2[/tex] blir volumet ganget med [tex]3x^2[/tex] det samme integralet bare ganget med konstanten 3. Men den utadrettede enhetsnormalen til overflaten av T sliter jeg med.