Faktorisere andregradsuttrykk i hodet

[Gommle]

Mattelæreren min viste meg denne metoden, og jeg forteller den videre til dem som ikke kan den.

Du har et polynom på denne formen: (Der a og b er heltall)

x^2 + ax + b

Så skriver du opp alle kombinasjoner med to tall som blir b når de blir multiplisert.

Eksempel:
5:
5 * 1 = 5
-5 * -1 = 5

Så adderer du sammen hver av disse tallene:
5+1 = 6
-5-1 = -6

Den kombinasjonen som gir -a er de riktige nullpunktene.

Eksempel:

x^2+2x-3

-3 +1 = -2 <-- riktig
3 -1 = 2

Nullpunktene er da -3 og 1. Faktoriseringen blir følgelig (x+3)(x-1)

Enda et eksempel:
-x^2+5x-4 = -(x^2-5x+4)
-4 -1
4 +1 = 5 <-- riktig

-(x-4)(x-1)

Noen som har noen fiffige bevis på hvorfor dette funker?

[edahl]

Det følger av at ... et eller annet :-p Det står i matteboka di tror jeg. Det henger sammen med forhold mellom nullpunktene og koeffisientene.

[Markonan]

Dette er vel algebraens fundamentalteorem?

Ethvert n'tegradspolynom kan faktoriseres i n (reelle og komplekse) førstegradspolynomer.

Ethvert n'tegradspolynom kan faktoriseres i reelle første og/eller annengradspolynomer.

[mrcreosote]

Hvis polynomet [tex]x^2+ax+b[/tex] kan faktoriseres som [tex](x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs[/tex], må disse uttrykka være like slik at vi har a=-(r+s) og b=rs. Ser du nå hvorfor det må være som du beskriver?

[meCarnival]

Dette fungere kun ved [tex]\pm 1x^2[/tex] slik jeg oppfatter det?


Og det siste eksempelet ditt blir vel:

-5+4 = -1
5-4 = 1

-(x+5)(x-4)

ellers så skjønte jeg ikke den siste, men bare de første

[FredrikM]

Dette fungere kun ved [tex]\pm 1x^2[/tex] slik jeg oppfatter det?

Har du et polynom på formen [tex]ax^2+bx+c[/tex], så har dette de samme nullpunktene som [tex]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}[/tex]. Så det fungerer på alle andregradspolynomer.

[Markonan]

Kom tilfeldigvis over denne formelen i en bok jeg skummet over.

Dette kalles Viètes regel, og det finnes varianter av den for tredje- og fjerdegradspolynomer (og en generalisering til ringer).
http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formulas