matematikk.net

På dagens eksamen var en av oppgavene å bevise en setning som jeg ikke er helt sikker på om jeg gjorde riktig. Kan noen se over det og si hvor eventuelle feil ligger hadde jeg satt pris på det.

Del 1 av oppgaven wrote:I denne oppgaven er [tex]u, v: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] to deriverbare funksjoner. Definer [tex]h(x,y)=f(u(x,y), v(x,y))[/tex] der [tex]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] er deriverbar, så er
[tex]{\nabla} h(x,y) = {\nabla} f(u(x,y,), v(x,y)) \left( \begin{array} \frac {\delta u} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta u} {\delta y} (x,y) \\ \frac {\delta v} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta v} {\delta y} (x,y)\end{array} \right)[/tex] for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}^2[/tex].

Jeg svarte: Av kjerneregelen har vi at [tex]\frac {\delta h} {\delta x} = \frac {\delta f} {\delta u} \cdot \frac {\delta u} {\delta x} + \frac {\delta f} {\delta v} \cdot \frac {\delta v} {\delta x}[/tex] og tilsvarende for [tex]y[/tex], så [tex]{\nabla} h(x,y) = \left [\frac {\delta f} {\delta u} \cdot \frac {\delta u} {\delta x} + \frac {\delta f} {\delta v} \cdot \frac {\delta v} {\delta x} , \frac {\delta f} {\delta u} \cdot \frac {\delta u} {\delta y} + \frac {\delta f} {\delta v} \cdot \frac {\delta v} {\delta y} \right ]= \left [ \frac {\delta f} {\delta u}, \frac {\delta f} {\delta v} \right ] \cdot \left( \begin{array} \frac {\delta u} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta u} {\delta y} (x,y) \\ \frac {\delta v} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta v} {\delta y} (x,y)\end{array} \right) = {\nabla} h(x,y) = {\nabla} f(u, v) \left( \begin{array} \frac {\delta u} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta u} {\delta y} (x,y) \\ \frac {\delta v} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta v} {\delta y} (x,y)\end{array} \right)[/tex], som var det vi ville vise.

Del 2 av oppgaven wrote: Vi sier at [tex] u[/tex] og [tex]v[/tex] er funksjonelt avhengige dersom det finnes en deriverbar funksjon [tex]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]\nabla f(u,v) \neq 0[/tex] for alle [tex]u, v \in \mathbb {R} ^2[/tex] og [tex]f(u(x,y), v(x,y))=0[/tex] for alle [tex]u, v \in \mathbb {R} ^2[/tex]. Vis at dersom [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex] er funksjonelt avhengige så er Jacobi-determinanten [tex]\left | \begin{array} \frac {\delta u} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta u} {\delta y} (x,y) \\ \frac {\delta v} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta v} {\delta y} (x,y)\end{array} \right |[/tex] lik null for alle [tex]x, y \in \mathbb {R} ^2[/tex].

Jeg svarte: Om betingelsen i oppgaven er oppfylt har vi [tex]f(u(x,y), v(x,y))=0[/tex]. [tex]f[/tex] er av betingelsene i oppgaven deriverbar, så om vi deriverer på begge sider får vi av første deloppgave [tex]{\nabla} f(u, v) \left( \begin{array} \frac {\delta u} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta u} {\delta y} (x,y) \\ \frac {\delta v} {\delta x} (x,y) & \frac {\delta v} {\delta y} (x,y)\end{array} \right ) = 0[/tex]. Kall matrisen i produktet for [tex]A[/tex]. Anta at det finnes [tex]x,y \in \mathbb{R}^2[/tex] slik at Jacobi-determinanten ikke er lik 0. Da er [tex]A[/tex] inverterbar med invers [tex]A^{-1}[/tex]. Ganger vi likningen med [tex]A^{-1}[/tex] fra høyre står vi igjen med [tex]{\nabla} f(u,v) =0[/tex], men per betingelsene i oppgaven er ikke dette tilfellet for noen [tex]u,v \in \mathbb{R}^2[/tex], så vi har en motsigelse. Altså var antagelsen vår gal, og det finnes ingen [tex]x,y \in \mathbb{R}^2[/tex] slik at Jacobi-determinanten til [tex]A[/tex] ikke er lik null, som er det samme som å si at Jacobi-determinanten til [tex]A[/tex] er lik null for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}^2[/tex], og vi er ferdige.

Om vi ser bortifra at jeg kanskje ikke burde skrevet 'deriverte' og heller skrevet 'funnet gradienten av' - er det noen feil i dette beviset? Er forøvrig mulig denne tråden burde vært postet i Bevisskolen-underforumet.

Svarene våre er omtrent identiske, om det på noen måte er beroligende.

Ser riktig ut dette.

Takk for korrektur.

Ser rett ut det, ligger fasit også på mat1110 siden nå:
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... V09Los.pdf