matematikk.net

For likningen y``+k^2*y=0 har vi løsningsformelen
Y=A*sin kx+B*cos kx

Er det noen her som klarer å bevise hvorfor denne løsningsfomelen er som den er.

Difflikningen [tex]y\prime \prime +k^2\cdot y=0[/tex]

Har den karakteristiske løsningen:

[tex]r^2+k^2=0[/tex]

[tex]r^2=-k^2[/tex]

[tex]r=sqrt {k^2}\cdot sqrt {-1}[/tex]

[tex]r=\pm ki[/tex]

Som gir den generelle løsningen:

[tex]y=A\cdot sin(kx)+B\cdot cos(kx)[/tex]

Skjønner at jeg ikke har de mattekunnskapene som de fleste he rinne, for det der forstod jeg ikek alt for mye av. Har muntlig i morgen, så tenkte jeg skulle prøve å forklare hvorfor formelen er som den er, men det kan jeg tydligvis bare glemme. hehe

Hørt om komplekse og imagniære tall?

ja.

Jeg trodde det var slik at vi vi bare fikk en løsning så ble svaret:
y=e^rx*(Ax+B)

Vet jeg er veldig ivrig nå, men nå tror jeg at jeg forstod det.
For når vi har to komplekse løsninger gitt som p+- iq:
y=e^px(A*sin qx+ B *cos qx)

Så når r=+- iq kan man skrive det som r= 0+-ki og dermed få svaret
e^0(A* sin kx + B* Cos kx)
Og siden e^0=1 blir da det endelig svaret:
(A* sin kx + B* Cos kx)

Er det slik man løser det?

Ja, stemmer. Jeg hoppet bare over det leddet i min løsning.

gabri3l90: Sikter du på 6-eren i morgen!?!

hm, luker muntlig eksamen her!

Selv gjorde jeg følgende:
1) Viste hvor vi har den karakteristiske likninga fra (setter inn y=e^rx i den originale homogene andreordens difflikninga med konstante koeffisienter). Da ser man at funksjonen y(x)=e^rx kun tilfredsstiller difflikninga når r er røttene til likninga r^2 +pr +q = 0

2) Så på tilfellet hvor den karakteristiske likninga hadde to komplekse røtter (med både real- og imaginærdel, mao. når 0<q^2 < 4k), og viste at når man anvende definisjonen for e^z-uttrykk, kan det skrives som sum av cos og sin. Til slutt implementerte jeg to konstanter (komplekse tall som konjugerer hverandre), slik at jeg fikk et uttrykk på formen y=Ae^r1x+Be^r2x

3) Så på hvordan man kunne moddelere fjærsvningninger med luftmotstand proposjonal med hastigheten med disse likningene.

Holdt til 6'er

Er ikke beviset ganske algebraisk?
Man får, ut av den karakteristiske løsningen, at [tex]x=p\pm iq[/tex]
Så fyller man dette inn for [tex]y=Ce^{rx} + De^{rx}[/tex]
Og når man løser dette ved hjelp av Eulers ligning og trigonometriske omskrivninger vil man til slutt sitte igjen med:
[tex]y=e^{px}(Asin(qx)+Bcos(qx))[/tex]