matematikk.net

Følgende oppgave er gitt:

Punktet P(0, 13, 7) går gjennom en kule med følgende paramterframstillng:

x = 2 + 15 cos v cos u
K: y = 3 + 15 cos v sin u
z = -4 + 15 sin v

Finn buene u og v for dette punktet.


Løsningsforslag:

Jeg begynner med å ta utgansspunkt i z-ligningen og får da:

7 = -4 + 15 sin v
11 = 15 sin v
11/15 = sin v

Gjennom bruk av kalkulator får man så at v = 47,17

Dersom man så setter dette inn i x-ligningen får man:

0 = 2 + 15 cos (47,17) cos u
-2 = 15 cos (47,17) cos u
-2/15 cos (47,17) = cos u

Kalkulator gir at u = 101,3

Svaret sjekkes ved å sette inn i y-ligningen:

13 = 3 + 15 cos (47,17) sin (101,3)
13 = 13

Her går altså oppgaven opp. Men dersom jeg etter å ha funnet vinkel v bruker svaret i y-ligninen, heller enn i x-ligningen får jeg ikke oppgaven til å stemme. Da får jeg følgende:

13 = 3 + 15 cos (47,17) sin u
10 = 15 cos (47,17) sin u
10/15 cos (47,17) = sin u

u = 78, 7

Dersom jeg så prøver svaret i x-ligningen får vi da:

0 = 2 + 15 cos (47,17) cos (78,7)
0 = 4

Dette stemmer jo ikke. Så hvorfor er det slik at jeg, etter å ha funnet vinkel v, kun får oppgaven til å gå opp hvis jeg bruker svaret i x-ligningen og ikke i y-ligningen? Har jeg gjort en regnefeil? Setter stor pris på hjelp/forklaring!

Problemet ligger i at når du løser trigonometriske ligninger som sin v=11/15 har ikke denne entydig løsning: Hvis sin v=11/15, er også sin(2*pi-v)=11/15. Tilsvarende for cosinus.

Å ja, selvsagt! 180 - 78,7 gir jo 101, 3 og da har man samme svar.