matematikk.net

Ønskes bevist:

[tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}<\sqrt{3}[/tex]

[tex]\frac{3}{2^{\sqrt{2}}}>\frac{3}{2^{1.5}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}>1[/tex] så [tex]2^{\sqrt{2}}<3[/tex].

Rota er strengt økende så det følger at

[tex]\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}<\sqrt{3}[/tex]

(At [tex]\sqrt{2}<1.5[/tex] følger forresten av f.eks. AM-GM ulikheta. At rota er strengt økende betyr at hvis [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] og [tex]0\leq x<y[/tex] er [tex]f(x)<f(y)[/tex]. Bevis av dette går ut på ren derivasjon: [tex]f^,(x)=\frac{1}{2}x^{-0.5}>0 \forall x>0[/tex]. Da følger det f.eks. av middelverditeoremet at funksjonen er strengt økende på [tex][0,\infty)[/tex].)

Finn det uendelige potenstårnet [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...[/tex].

Kan man på samme måte bevise [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}>\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

Charlatan wrote:Finn det uendelige potenstårnet [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...[/tex].

Om jeg forstår notasjonen rett er dette grenseverdien av følgen [tex]a_k[/tex] der [tex]a_{n+1}=sqrt {2} ^{a_n}[/tex]. Av induksjon ser vi lett at følgen er strengt voksende og oppad begrenset: dersom [tex]a_n > a_{n-1}[/tex] er [tex]a_{n+1}=sqrt{2} ^{a_n} > sqrt{2}^{a_{n-1}} = a_n[/tex], der vi brukte at [tex]f(x)=sqrt{2}^x[/tex] og induksjonshypotesen. Så ser vi at dersom [tex]a_n<2[/tex] er [tex]a_{n+1}=sqrt{2}^{a_n}<sqrt{2}^2=2[/tex] der vi igjen brukte monotiniegenskapene til nevnte funksjon og induksjonshypotesen. Altså er [tex]a_n[/tex] monotont voksende og begrenset, og derfor er den konvergent. For å finne grenseverdien [tex]A[/tex] lar vi [tex]n[/tex] gå mot uendelig i rekursjonen [tex]a_{n+1}=sqrt{2}^{a_n}[/tex] og får likningen [tex]A=sqrt{2}^A[/tex], som kun har løsningene [tex]2[/tex] og [tex]4[/tex]. Siden [tex]a_n[/tex] aldri er større enn [tex]2[/tex] er det umulig for den å nærme seg [tex]4[/tex], så det uendelige potenstårnet blir lik 2.

Hva vil det si at det ikke er algebraisk?
(jeg trodde det var algebraisk fordi det kunne settes opp som eksponenter, summer og produkter)

Et algebraisk tall er - om jeg husker riktig - et tall som er en løsning av en eller annen polynomlikning med heltallskoeffisienter.

Høres riktig ut det!

http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number