matematikk.net

Jeg har et kvadrat på [tex]n_{0}[/tex] og vil finne når kvadratet har et areal på [tex]1000n_{0}^{2}[/tex] når det utvider seg.

Hvis det utvider seg kun en gang kom jeg frem til uttrykket [tex](n+(n-1))^{2}=(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1[/tex].

Problemet er nå at for neste utvidelse skal jeg bruke [tex]\sqrt{(n+(n-1))^{2}}=2n-1[/tex] som [tex]n[/tex].

Hvordan kan jeg i ett uttrykk skrive at denne operasjonen skal gjentas til [tex]4n_{x}^{2}-4n_{x}+1=1000n_{0}[/tex]?

Problemet er altså at [tex]n[/tex] endrer seg, og at jeg ikke får til å uttrykke det på en god måte!

Hvis vi lar sidelengden være [tex]a_n[/tex], vil etter det jeg skjønner

[tex]a_n=2a_{n-1}-1[/tex].

Denne differensligninga løser vi lett. Ser først på homogen ligning.

Antar at homogen løsning har formen [tex]k^n[/tex]: Innsatt i homogen ligningen blir da

[tex]k^n=2k^{n-1}[/tex] så

[tex]k=2[/tex]

Homogen løsning blir [tex] a_n^{homogen}=B2^n[/tex] (for [tex]B[/tex] konstant). Antar videre partikulærløsning [tex]a_n^{part}=C[/tex] (for [tex]C[/tex] konstant). Generell løsning blir summen:

[tex]a_n=B2^n+C[/tex]. Innsatt fås

[tex]B2^n+C=2(B2^{n-1}+C)-1=B2^n+2C-1[/tex].

Da må [tex]C=1[/tex] så generell løsning blir

[tex]a_n=B2^n+1[/tex].

Initialbetingelsen gir verdien av konstanten [tex]B[/tex]. Har at

[tex]a_0=B+1[/tex] så [tex]B=a_0-1[/tex].

Dermed blir generell løsning

[tex]a_n=(a_0-1)2^n+1[/tex].

For hvilken [tex]n[/tex] er arealet så [tex]1000a_0^2[/tex]? Må løse ligninga

[tex]1000a_0^2=a_n^2=((a_0-1)2^n+1)^2[/tex]. Etter litt omskrivning:

[tex]\frac{ln(\frac{\sqrt{1000}a_0-1}{a_0-1})}{ln(2)}=n[/tex].

PS: Har endra notasjonen litt og brukt [tex]a_0[/tex] som initiell sidelengde istedenfor [tex]n_0[/tex].
I det siste uttrykket har vi antatt at [tex]a_0\neq 1[/tex]. (Vi ser jo fra den opprinnelige ligninga at 1 er et fikspunkt.) [tex]a_0[/tex] kan heller ikke være mindre enn 1 for da vil sidelengden krympe.

Takk for hjelpen! : D