matematikk.net

Hei igjen. Holder fortsatt på med komplekse tall og har nå støtt på en likningsoppgave jeg ikke helt skjønner hvordan jeg skal løse. Den lyder som følger:

Vis at røttene i ligningen [tex]z+1/z=2cos\alpha[/tex] der [tex]\alpha[/tex] er et vilkårlig reelt tall, ligger på enhetssirkelen [tex](|z|=1)[/tex] i det komplekse plan.

Noen som vet hvordan jeg burde gå frem for å vise dette?

[tex]z^2-2\cos(\alpha)z+1=0[/tex]

[tex]z^2-2\cos(\alpha)z+\cos^2(\alpha)=\cos^2(\alpha)-1=-\sin^2(\alpha)[/tex]

[tex](z-\cos(\alpha))^2=-\sin^2(\alpha)[/tex]

[tex]z-\cos(\alpha)=\pm\sin(\alpha)i[/tex]

[tex]z=\cos(\alpha)\pm\sin(\alpha)i=\cos(\pm \alpha)+\sin(\pm\alpha)i=e^{\pm\alpha i}[/tex]

[tex]\Rightarrow |z|=|e^{\pm\alpha i}|=1[/tex]

Storartet som alltid plutarco. Jeg var inne på det, men kom ikke i mål. Tusen takk