roten av z

[Betelgeuse]

Føler jeg benytter meg litt vel mye av forumet nå uten å komme noe videre på egen hånd, men jeg har prøvd på egenhånd og kommer ikke videre med denne oppgaven heller, så da vil jeg heller gjerne få det oppklart istedenfor å hoppe over en oppgave slik at jeg har innsikt til neste gang jeg støter på et liknende problem. Jeg får uansett fin trening i LaTeX av å poste slike problem Den lyder nå som følger;

La [tex]z=a+ib[/tex] Vis at kvadratroten til z er på formen

[tex]w=\pm\left(\sqrt{\frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}+\frac{a}{2}}+\epsilon i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}-\frac{a}{2}}\right)[/tex]

der [tex]\epsilon[/tex] er enten 1 eller -1.

Jeg vet at for å ta røtter av et komplekst tall z så må man først ta roten av [tex]mod(z)=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] og så dele arg(z) på 2 sammen med + 2k [symbol:pi] slik at vi får det på formen:

[tex]\sqrt{z} =w= \sqrt{a^2+b^2}e^{(\frac{\theta}{2}+\frac{2k\pi}{2})}=\sqrt{a^2+b^2}(cos(\frac{\theta}{2}+\frac{2k\pi}{2})+isin(\frac{\theta}{2}+\frac{2k\pi}{2}))[/tex] og da skulle man få kvadratrøttene ved å substituere inn k=0,1.. men så, gitt at jeg har valgt riktig fremgangsmåte så langt ser jeg ikke hva jeg skal gjøre videre for å få en form lik den gitt ovenfor.

[Gustav]

Skriv z på formen[tex] z=re^{\theta i}=\sqrt{a^2+b^2}e^{\theta i+2k\pi i}[/tex]. Da blir

[tex]w=\sqrt{z}=(a^2+b^2)^{\frac14}e^{\frac{\theta}{2} i+k\pi i}[/tex].

Har at [tex]e^{k\pi i}=(-1)^k[/tex].

Bruker at [tex]e^{\frac{\theta}{2}i}=\cos(\frac{\theta}{2})+\sin(\frac{\theta}{2})i=\pm (\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}+\epsilon\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}i)=\pm (\sqrt{\frac{1+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}{2}}+\epsilon\sqrt{\frac{1-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}{2}}i)[/tex]

[tex]\Rightarrow w=\pm (a^2+b^2)^{\frac14} (\sqrt{\frac{1+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}{2}}+\epsilon\sqrt{\frac{1-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}{2}}i)=\pm \left (\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}+\frac a2}+\epsilon i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}-\frac a2} \right )[/tex]

EDIT: regnefeil av meg...

[Betelgeuse]

Ah! Okay, så du kom frem til samme uttrykk. Jeg stussa litt på det i og med at det uttrykket faktisk fungerte til å regne ut røtter Flotters!