matematikk.net

Hei,

hvordan kan jeg bevise at [tex]a = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}}[/tex] er bundet?

La [tex]a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}[/tex] med [tex]a_0=0[/tex].

Da er [tex]\sqrt{2+\sqrt{2+...}}=\lim_{n\to\infty}a_n[/tex].

Ser at dersom [tex]a_n<2[/tex] er [tex]a_{n+1}<2[/tex]. [tex]a_0=0<2[/tex]. Følgelig er [tex]a_n<2[/tex] for alle [tex]n=0,1,2,...[/tex]

Siden du beviste at rekken er bundet, trenger jeg bare ä vise at den er monotont ökende, för jeg evt. kan finne grenseverdien(?).

[tex]a_{n+1} = \sqrt{2+ a_n} \,\,\,?\,\,\, a_n \Rightarrow a_{n+1} > a_n[/tex] fordi [tex]a_n < 2[/tex].

(Det hadde vel ikkje hjulpet meg noe saerlig ä vise at rekken var bundet av 3 eller noe annet naturlig tall hvis jeg skulle finne grenseverdien?)

Hvis du viser at følgen er montont voksende vil det monotone konvergenseteoremet http://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_c ... ce_theorem gi at følgen er konvergent, dvs. at den går mot et endelig reellt tall. Siden følgen er konvergent kan vi benytte rekursjonen for å finne denne grensen, f.eks. ved å la n gå mot [tex]\infty[/tex].

Du kunne like gjerne vist at følgen er oppad begrenset av 3. Det monotone konvergensteoremet ville gitt samme konklusjon.

Jeg regner med at dere bruker bundet som en oversettelse av "bounded". Vil bare påpeke at den vanlige norske oversettelsen er "begrenset".

Øvrig bidrag til denne diskusjonen er det derimot veldig dårlig med.

For å vise at følgen er monotont voksende må man vise at [tex]a_{n}< a_{n+1}[/tex] for alle [tex] n\in \mathbb{N}[/tex].

Vi bruker induksjon:

Steg 1: [tex] a_0=0< \sqrt{2}=a_1[/tex]

Steg 2: Anta at [tex] a_{m}< a_{m+1}[/tex] for en bestemt [tex]n=m[/tex]. Da er [tex]a_{m+2}=\sqrt{2+a_{m+1}}> \sqrt{2+a_m}=a_{m+1}[/tex]

Følgelig er[tex] a_n< a_{n+1}[/tex] for alle naturlige n. [tex]\Rightarrow[/tex] Følgen er monotont voksende. [tex]\Rightarrow[/tex] Siden følgen er oppad begrenset vil den konvergere av det monotone konvergensteoremet.


Kaller så grensa [tex]a[/tex]. Lar vi [tex]n[/tex] gå mot uendelig i rekursjonen får vi

[tex]a=\sqrt{2+a}[/tex] med løsning [tex]a=2[/tex] (så lenge vi lar [symbol:rot] betegne prinsipalverdien). Så følgen konvergerer mot 2. QED.