matematikk.net

Hei.

Setter pris på hjelp til følgende problem:

Du skal lage en rettvinklet kasse uten lokk og med kvadratisk bunn. Volumet av kassen skal være 4000 kvadratcentimeter. Hvilke mål skal kassen ha for at det skal gå med minst mulig materialer til å lage den, dvs. for at summen av sidenes overflatearealer skal bli minst mulig?

Jeg er litt forvirret her. Jeg regner med at jeg skal komme frem til et uttrykk som skal deriveres for slik å regne ut ekstremalpunkt for uttrykket. Men jeg kommer ikke på hvilket uttrykk jeg kan bruke i forhold til overnevnte oppgave. Grunnflate er vel x^2 ettersom oppgaven påpeker at det dreier seg om et kvadrat. Etter dette står jeg fast.

Hm, jeg tror jeg begynner å nærme meg. . .

Jeg setter opp to uttrykk. Et for volum, og et for den deriverte. Jeg får da:

I. x^2 * y = 4000

II. (x^2 * y)´= 0

Ver å bruke kjerneregelen får jeg følgende uttrykk for den deriverte:

2xy + x^2 = 0

Uttrykk for y blir da: y = - x^2/2x som kan forkortes til -x/2

Dette settes så inn i likning 1:

x^2 * (-x/2) = 4000

-x^3/2 = 4000

x^3 = -8000

x = -20

I følge fasit er svaret 20. Men jeg får altså -20. Kan dette automatisk gjøres om til positiv 20 ettersom et volum jo ikke kan være negativt? Eller har jeg gjort en feil underveis?

Sett opp det du har først uten nødvendigvis noen fullstendig plan.

a=side i grunnflaten, h=høyden
V = a²+h = 4000 (cm³)
A = a²+4ah

Det er selvsagt akkurat de samme a'ene og h'ene som oppstår i de to uttrykkene. Vi har to ukjente, a og h. La oss lage et uttrykk for en av dem og bytte og flytte litt og settter inn. Målet er uttrykk for arrealet med en ukjent slik at vi kan få en graf som vi kan finne laveste areal på. Enten ved derivasjon eller kalulatorfunksjonen "min" (minimum)

a²+h = 4000
h = (4000/a²)

A=a²+4a*4000/a²
A=a²+16000/a

A´= 2a+16000*(-1/a²)
A´= 2a-16000/a²
A lavest når A´= 0
2a-16000/a² = 0
...
a³=8000
a=20
h=10
A=1200

hmmm er jeg på sporet?

(Regner med at volumet skal være 4000cm³)

Jeg lurer på hvordan du klarer å komme fram til den laveste overflaten, når du ikke bruker formelen for overflate i det hele tatt.

Sett opp to uttrykk.
Ett for Volum
Ett for Overflate.

Deriver og finn når derivert = 0 etter du har fått et utrykk for overflaten innbakt med premissene i oppgaven, slik som V=4000 etc.


Edit: Derivasjonen din var fremmed for meg. Det er to ukjente i uttrykket, x og y. Hva deriverer du med hensyn på?

"Edit: Derivasjonen din var fremmed for meg. Det er to ukjente i uttrykket, x og y. Hva deriverer du med hensyn på?[/quote]"


Hei, og takk for svar (svaret ditt er riktig). Det jeg gjør er å ta formelen for volum av kube G x h. Ettersom bunnen skal være et kvadrat vil alle sidene her være like lange. Jeg setter x til å være en av sidene i grunnflaten. G blir da x^2. Høyden er ukjent (jeg lar y står for høyde). Volum blir da G * h = x^2 * y.

Samtidig skal vi finne en ekstremalverdi (i dette tilfellet at man skal bruke minst mulig materialer - dvs at andelen "luft" i volumet blir størst mulig (eller er jeg helt på villspor her?)). Dette må da være et nullpunkt for den deriverte.

Den deriverte av x^2 * y er, som nevnt, 2xy + x^2 (funnet gjennom bruk av kjerneregelen). Ved å sette dette uttrykket likt null har vi nå to likninger med to ukjente (formelen for volum, samt det deriverte uttrykket). Dette gir altså svaret x = -20.

Men i og med at vi her snakker om fysisk volum kan jo ikke x være negativ. Er det derfor noe i metoden min som er feil? Eller vil jeg, i overnevnte tilfelle, kunne gjøre om x fra negativ 20 til positiv 20? Svaret blir da at hver side av bunnkvadratet blir 20, og høyden blir 10. Altså - samme svar som du har.

"andelen luft" er jo 4000 kubikkcm konstant til en hver tid. Deriverer du et konstant volum så får du null uansett. Regner med at andelen luft er 100% hvis det da ikke befinner seg noe annet en luft i boksen (og at hva du har i boksen ikke påvirker volumet uansett):)

Det er arealet som varier med valg av høyde og bredde, mens volumet er konstant. Det er dermed ingen hensikt å derivere "funksjonen" for volumet.
Med fare for å ta feil tør jeg tippe at svaret ditt ligner på det rette svaret rett og slett pga tilfeldigheter. Slikt skjer stadig vekk og er egentlig mer uflaks en flaks, fordi det kan ofte forvirre.

Med all respekt: Når du deriverer, hvertfall på VGS nivå. Så deriver du en funksjon med EN ukjent. Da får vi hvor mye funksjonen stiger ved en gitt x. Det er viktig at du ser forskjell på en ligning med en ukjent og en ligning med 2 ukjente.


Dette må du forklare veldig grundig hvis jeg skal forstå:
quote: "Den deriverte av x^2 * y er, som nevnt, 2xy + x^2"

Ja, jeg har nok vært en del på villspor her.

Jeg forstår imidlertid resonnementet ditt hundre prosent, så nå vet jeg i hvert fall hvordan fremgangsmåten skulle vært . Takk for svar!