Tilsvarende delvisintegrasjon for kvotienter.
Posted: 30/07-2009 13:04
Først litt bakgrunn. Jeg repeterer litt fra 3MX for å holde ting vedlike. Jeg kom over en oppgave som lød:
Vis at [tex]\int \frac{x^4-27x^2-6x}{(x^2-9)^2} dx = \frac{x^3+3}{x^2-9} +C[/tex]
Jeg synes det ble litt for kjedelig å derivere svaret for å vise at det var riktig, så ved alle slike oppgaver tar jeg konsekvent "omvegen". Men denne viste seg å bli veldig vanskelig
Aller først tenkte jeg å faktorisere og forhåpentligvis stryke. Det var ikke helt trivielt for meg å faktorisere polynomet. Dermed tenkte jeg å utføre polynomdivisjon. Det funket dårlig, etter som jeg får ett stygt utrykk i nevner uansett. Så tenkte jeg å prøve delvisintegrasjon ved å sette v(x) til [tex](x^2-9)^{-2}[/tex] men det medfører at v'(x) blir enda styggere, og dersom jeg setter det til u(x) istedenfor, må jeg allikevel integrere denne stygge brøken.
Så, lang historie kort, finnes det en måte å integrere en brøk som [tex]\frac{1}{x^2-9}\,eller\,\frac{1}{(x^2-9)^2}[/tex] ? Jeg trenger ikke en lang utredning. En link til en forklaring duger (Inntil videre ihvertfall). Jeg skulle gjerne googlet det, men jeg er usikker på hva jeg skal google. 
Vis at [tex]\int \frac{x^4-27x^2-6x}{(x^2-9)^2} dx = \frac{x^3+3}{x^2-9} +C[/tex]
Jeg synes det ble litt for kjedelig å derivere svaret for å vise at det var riktig, så ved alle slike oppgaver tar jeg konsekvent "omvegen". Men denne viste seg å bli veldig vanskelig
Aller først tenkte jeg å faktorisere og forhåpentligvis stryke. Det var ikke helt trivielt for meg å faktorisere polynomet. Dermed tenkte jeg å utføre polynomdivisjon. Det funket dårlig, etter som jeg får ett stygt utrykk i nevner uansett. Så tenkte jeg å prøve delvisintegrasjon ved å sette v(x) til [tex](x^2-9)^{-2}[/tex] men det medfører at v'(x) blir enda styggere, og dersom jeg setter det til u(x) istedenfor, må jeg allikevel integrere denne stygge brøken.
Så, lang historie kort, finnes det en måte å integrere en brøk som [tex]\frac{1}{x^2-9}\,eller\,\frac{1}{(x^2-9)^2}[/tex] ? Jeg trenger ikke en lang utredning. En link til en forklaring duger (Inntil videre ihvertfall
). Jeg skulle gjerne googlet det, men jeg er usikker på hva jeg skal google.