matematikk.net

Hei.

Hvordan deriveres følgende uttrykk:

(sec x)*(tan(^2)x) + sec(^3)x?

Jeg vet jo at (sec x) derivert er (sec x)*(tan x) og at (tan x) derivert er (sec(^2) x).

Men jeg er usikker ettersom man her begynner med tan(^2) x og sec(^3) x.

[tex]\prime (sec^3(x)) \Rightarrow \prime \left (\frac {1}{cos^3(x)} \right ) = \frac {0\cdot cos(x)^3 -1\cdot \prime (cos(x)^3)}{(cos^3(x))^2}= \frac {3\cdot \cancel {cos^2(x)} \cdot sin(x)}{cos^4(x)\cdot \cancel {cos^2(x)}}= \frac {3\cdot sin(x)}{cos^4(x)}[/tex]

[tex]\prime (tan^2(x)) \Rightarrow \prime \left (\frac {sin^2(x)}{cos^2(x)} \right ) = \frac {2\cdot sin(x)\cdot cos(x)\cdot cos^2(x)+2 \cdot sin(x)\cdot cos \cdot sin^2(x)}{(cos^2(x))^2}[/tex]

[tex]\frac {2\cdot sin(x)\cdot \cancel {cos(x)}\cdot \left (cos^2(x)+sin^2(x)\right )}{\cancel {cos(x)}\cdot cos^3(x)}=\frac {2sin(x)\cdot 1}{cos^3(x)[/tex]

[tex]\frac {2sin(x)}{cos^3(x)[/tex] Kan også skrives som:

[tex]2\cdot tan(x)+(tan^2(x)+1)[/tex]

Da skulle det ikke være så vanskelig å løse resten av oppgaven ved hjelp av produktsetningen for derivering.

Takk for svar!

Fasiten sier imidlertid at svaret skal være (sec x)*(tan(^3)x) + (5sec(^3)x)*(tan x). Løsningsforslaget ditt er nok riktig, men virker som en tungvint måte å gå frem på. Har en følelse av at det skal gå an å gjøre dette enklere og uten å omforme sec og tan-uttrykkene til cos/sin-uttrykk.

Ja.. ser det nå.. det gjer jo alt mykje enklare..hehe:


[tex] \prime \left ( sec(x)\cdot (tan(x))^2+(sec(x))^3 \right )[/tex]

[tex]sec(x)\cdot tan(x)\cdot tan^2(x)+sec(x)\cdot 2 \cdot tan(x) \cdot sec^2(x)+3sec^2(x)\cdot sec(x)\cdot tan(x)[/tex]

[tex]sec(x)\cdot tan^3(x)+2sec^3(x)\cdot tan(x) + 3sec^3(x)\cdot tan(x)=sec(x)\cdot tan^3(x)+5sec^3(x)\cdot tan(x)[/tex]

Takk skal du ha!

Ser forøvrig at vi tar samme kurs! Lykke til med innlevering