matematikk.net

Hei hei, jeg sitter litt fast på en oppgave, her er det jeg har gjort til nå:

Oppgave:

Use the formal definition of limit to verify the indicated limit

[tex]\lim_{x \to 1} sqrt{x}=1[/tex]

Gitt [tex]\epsilon > 0[/tex] og [tex]\delta=\delta (\epsilon)>0[/tex]

Slik at [tex]0<|x-1|<\delta \Rightarrow |f(x)-1|<\epsilon[/tex].

Vi lar [tex]\delta=min \{?,?\}[/tex]


Kladd:

[tex]|f(x)-1|<\epsilon \Leftrightarrow |sqrt{x}-1|< \epsilon[/tex]

Fra her tenkte jeg at jeg kunne isolere |x-1|, hvis jeg utvidet med den konjugerte.

[tex]|sqrt{x}-1|\cdot \frac {|sqrt{x}+1|}{|sqrt{x}+1||}< \epsilon \ \Rightarrow \frac {|x-1|}{|sqrt{x}+1|}< \epsilon[/tex]

Så hvis jeg antar at [tex]|x-1|<1<\delta[/tex], så er [tex]0<x<2[/tex]

Og det er her problemet mitt kommer, vil dette da bli [tex]0<|sqrt{x}|<sqrt{2}[/tex] som igjen blir [tex]1<|sqrt{x}+1<sqrt{2}+1[/tex]?? Hvis jeg klarer å definere denne så går resten av oppgaven fint, skulle jeg tro.

Ser ganske rett ut dette, men du blander inn noen absoluttverdier som ikke er helt nødvendig i tillegg til at det ble noe småkluss mot slutten. Du kan velge [tex]\delta(\epsilon)=min(1,\epsilon)[/tex]. Da vil [tex]|x-1|< \delta(\epsilon)[/tex] implisere at [tex]|\sqrt{x}-1|<\epsilon[/tex].