Page 1 of 3

Mer retningsderivert

Posted: 01/09-2009 21:16
by meCarnival
Finn retningene hvor den retningsderiverte til funksjonen [tex]f(x,y)=x^2+sin(xy)[/tex] i punktet (1,0) har verdien 1...

Samme som i forrige post, finner dårlig lite om våres oppgaver, men boka har egne eksempler og mye like oppgaver...

Posted: 01/09-2009 21:33
by espen180
Hvor i utregningen stopper det opp?

Posted: 01/09-2009 21:47
by meCarnival
Det jeg sliter med disse oppgavene er å få inn retningen, hva er retningen av dette? Jeg tenker retningen som en vinkel i forhold til et eller annet, men kanskje misforstått i denne sammenhengen...

Posted: 01/09-2009 22:15
by espen180
Vi starter med funksjonen, som jeg kaller [tex]\phi[/tex], men du kan kalle den hva du vil, så klart.

Det første vi alltid må finne ut i slike oppgaver er i hvilken retning [tex]\phi[/tex] stiger raskest. Denne retningen er gitt ved

[tex]\nabla \phi=\left[\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right][/tex]

I todimensjonale tilfeller blir dette [tex]\nabla \phi=\left[\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y}\right][/tex]

osv.

Du har helt rett når du tenker på retningen som en vinkel i forhold til maksimalstigningsretningen. For å finne denne vinkelen bruker vi enhetsvektoren i retningen vi ønsker. [tex]\hat{u}[/tex] er her enhetsvektoren som går i samme retning som retningen vi ønsker å derivere i. Hvis [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom maksimalstigningsretningen og retningen vi deriverer i, kan vi skrive

[tex]D_u\phi=\nabla \phi \cdot \hat{u}=|\nabla \phi|\cos\theta[/tex].

der [tex]|\nabla \phi |[/tex] er stigningstallet i maksimalretningen.


Hele prosessen er dermed kun å bestemme [tex]\nabla \phi[/tex] og [tex]\hat{u}[/tex]. Vinkelen [tex]\theta[/tex] kommer naturlig når vi tar skalarproduktet mellom dem.


Ble det klarere?

Posted: 01/09-2009 23:06
by meCarnival
Ja, ting kom litt mere frem.. Tar å leser boka en gang til nå som jeg vet hva ting betyr... :D

Posted: 02/09-2009 09:42
by meCarnival
Jeg prøvde meg på en annen oppgave først...

Finn største endringsraten til funksjonen [tex]f(x,y,z,)=ln(xy^2z^3)[/tex] i punktet [tex]P(1,-2,3)[/tex] og i hvilken retning...

Sånn gjorde jeg det:

[tex]\bigtriangledown f(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) = \langle \vec{\frac{1}{x}}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z}\rangle[/tex]
[tex]\bigtriangledown f(1,-2,3) = \langle \frac{1}{1}, -\frac{2}{2}, \frac{3}{3}\rangle = \underline{\underline{\langle 1, -1, 1\rangle}}[/tex]

[tex]\| \bigtriangledown f(1,-2,3) \| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \underline{\underline{\sqrt{3}}}[/tex]

Så skal retningen være vektor?
Synes det ser bra ut og de med underline er riktige svar, men har jo ikke vært innom noen endringsrate da? :roll:


Og i opprinnelig oppgave som posten startet med så sliter jeg med å finne hva som skal være lik 1... Når skal den komme inn i bildet?

Posted: 02/09-2009 11:47
by espen180
For opprinnelig post:
Du skal finne alle retninger (enhetsvektorer i disse retningene) der [tex]D_u\phi=|\nabla \phi|\cos \theta = 1[/tex].


For siste post:
[tex]|\nabla \phi|[/tex] er endringsraten i raskest stigende retning.

Posted: 02/09-2009 13:00
by Gustav
meCarnival wrote:Jeg prøvde meg på en annen oppgave først...

Finn største endringsraten til funksjonen [tex]f(x,y,z,)=ln(xy^2z^3)[/tex] i punktet [tex]P(1,-2,3)[/tex] og i hvilken retning...

Sånn gjorde jeg det:

[tex]\bigtriangledown f(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) = \langle \vec{\frac{1}{x}}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z}\rangle[/tex]
[tex]\bigtriangledown f(1,-2,3) = \langle \frac{1}{1}, -\frac{2}{2}, \frac{3}{3}\rangle = \underline{\underline{\langle 1, -1, 1\rangle}}[/tex]

[tex]\| \bigtriangledown f(1,-2,3) \| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \underline{\underline{\sqrt{3}}}[/tex]

Så skal retningen være vektor?
Synes det ser bra ut og de med underline er riktige svar, men har jo ikke vært innom noen endringsrate da? :roll:


Og i opprinnelig oppgave som posten startet med så sliter jeg med å finne hva som skal være lik 1... Når skal den komme inn i bildet?
Det fine med gradienten er at den angir den retningen der funksjonen stiger raskest. Så normerer vi blir retningen [tex] \frac{\bigtriangledown f(1,-2,3) }{|\bigtriangledown f(1,-2,3) |}[/tex]

Posted: 02/09-2009 13:43
by meCarnival
De retninger eller den retningen?
Så skal bruke [tex]\frac{\bigtriangledown%20f(1,-2,3)%20}{|\bigtriangledown%20f(1,-2,3)%20|}[/tex] eller [tex]|\nabla%20\phi|[/tex] i oppgaven i første post?
Der sal jeg jo finne retningene, mhp på verdien 1 et eller annet sted.. Hva har verdien 1, det forstår jeg vel ikke helt enda...

Synes dette er vanskelig stoff å lese på selv, men det jeg lærer av også til gjengjeld...


[tex]\nabla[/tex] - Tegnet heter nabla på norsk også eller?

Posted: 02/09-2009 16:58
by meCarnival
Jeg overså hva espen hadde sagt om 1 så skal ta å prøve på den nå... Ser det vil bli to pga to cosinus verdier...

Sånn her gjorde på den forrige...
Image


Slik jeg har forstått etter å lest posten mill ganger er:

[tex]\nabla \phi[/tex] gir meg den retningen hvor det stiger raskest?

[tex]\|\nabla \phi\|[/tex] er endringsraten med størst vekst i den gitte retningen?

Tenker på å lage en liten oppslagsbok når dette kommer i timene fordi synes det var mye å holde styr på :)...

Posted: 02/09-2009 17:00
by espen180
Navnet på [tex]\nabla[/tex] er ikke så viktig. I denne sammenhengen er det en del operator.

Posted: 02/09-2009 17:13
by meCarnival
Nei, ikke at det er så viktig, bare lurt på det fra jeg begynte å lese også så jeg koden var nabla... Oppdatert over nå... holder på med en oversiktsliste over hva ting faktisk er... =)...

Posted: 02/09-2009 17:38
by espen180
Det kan være en god idé. :)

Om vi skal være skikkelig grundige:

La [tex]P_n[/tex] være et punkt med koordinatene [tex](x_n,y_n,z_n)[/tex], så du kan erstatte [tex]P_n[/tex] med koordinater om du vil.

[tex]\phi(P_n)[/tex] er en skalarfunksjon (vanlig funksjon, som [tex]f(x,y,z)[/tex])

[tex]\nabla \phi(P_n)[/tex], kalt gradienten til [tex]\phi[/tex] er en vektor fra [tex]P_n[/tex] som angir retningen hvor stigningstallet til funksjonen er størst, med andre ord retningen hvor reise gir raskeste umiddelbare økning i [tex]\phi[/tex].

[tex]|\nabla \phi(P_n)|[/tex] er lengden av denne vektoren og angir stigningstallet i retningen med størst stigningsgrad.

[tex]D_u\phi(P_n)=\nabla \phi(P_n)\cdot \hat{u}=|\nabla\phi(P_n)|\cos\theta[/tex], kalt [tex]\phi[/tex]s retningsderiverte i retningen av [tex]\hat{u}[/tex] er stigningstallet i en gitt retning angitt av en enhetsvektor [tex]\hat{u}[/tex] som peker i denne retningen. [tex]\theta \in [0,\pi].[/tex]

Var det noe mer?

Posted: 02/09-2009 17:41
by meCarnival
Tenkte jeg skulle lage den før tirsdag, ala lørdag på dagen tenker jeg å se over for å prøve å være ferdig med disse oppgavene denne uka.. Prøver meg nå på den som jeg akkurat la ut...

Men ja, skal lese over og se om det er noe mer som kommer opp... det er mye vektorer, ikke vektorer, enhetsvektorer og +++ som må holdes styr på og vil kunne det, bare ikke like lett å fortøyd det helt... :D...

Posted: 02/09-2009 18:13
by meCarnival
Viser litt hvordan jeg tenker på den ene oppgaven over.. Det er noe her som er litt misforstått.. Svar: [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\approx 5.64[/tex]

Image
Image