Page 1 of 1

Vis at a deler c.

Posted: 02/09-2009 17:56
by Wentworth
I denne oppgaven er n et fast naturlig tall.Dersom a, b er element i Z skriver vi a\equiv b hvis a-b er delelig med n.

a)Vis at hvis [tex]\: a \equiv b \: ,[/tex] og ,[tex] \: b\equiv c[/tex], så er [tex]\: a \equiv c[/tex].

Posted: 02/09-2009 19:41
by FredrikM
[tex]\equiv[/tex] \equiv i LaTeX

På mer forståelig norsk sier oppgaven:

Hvis a deler b, og b deler c, hvis at a deler c.

Hint: Hvis a deler b, kan man skrive ak=b (for en eller annen k). Spill videre på dette.

Posted: 02/09-2009 20:28
by Wentworth
a)svar:
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]

La n være et heltall;
Da får vi;
[tex] an=b, \: bn=c, \: an=c[/tex]

La n=2 og a=4.Det gir;

[tex]4\cdot 2=8,\: 8\cdot 2=16,\: 4\cdot2=8,\: \:[/tex] c skulle jo bli 16?

Mulig jeg surrer...

Posted: 02/09-2009 20:36
by Karl_Erik
Det er fordi [tex]a \equiv b[/tex] ikke betyr at [tex]an=b[/tex]. Det betyr at [tex]a-b=kn[/tex] for et heltall [tex]k[/tex].

Posted: 02/09-2009 20:45
by Wentworth
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]
Man leser det som a deler b , b deler c, a deler c.

La s, t, k være tallene i mengden Z;
Da får vi;
[tex] as=b, \: bt=c, \: ak=c[/tex]

La a=4, s=5,t=2,k=10 Det gir;
[tex]4\cdot5=20, \: 20 \cdot 2=40, \: 4 \cdot 10=40[/tex]

Hva betyr notasjonen [tex]\: a-b[/tex]?

Posted: 02/09-2009 21:00
by mrcreosote
FredrikMs oversettelse av oppgava er ikke korrekt, dropp den. Bruk Karl_Erik sitt hint. Notasjonen [tex]a-b[/tex] betyr a minus b.

Posted: 02/09-2009 21:12
by FredrikM
Småflau nå. Men rotet. Forøvrig er det en fin ekstraoppgave å vise det min gale oversettelse hinter til.

Ihvertfall, som plaster på rotet mitt: [tex]a \equiv b (mod n)[/tex] betyr, som Karl_Erik så presist sa, at a-b=kn, for en eller annen heltalls-k. La f.eks n være 3:
Da er [tex]1 \equiv 4 (mod 3)[/tex]. Eller [tex]3 \equiv 0 (mod 3)[/tex].

Posted: 02/09-2009 21:23
by Wentworth
Ok,vi vet at [tex]a \equiv b \: ,[/tex]betyr som følger;
[tex]a-b=kn \:[/tex] der k er et heltall og n et fast tall.

Vi setter a=8 ,b=7,n=-1,k=-1,t=2,s=1.Da har vi;
[tex]a \equiv b,\: b \equiv c, \: a \equiv c[/tex]
eller;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c,\: a-c=sn[/tex]
Innsatt får vi;
[tex]8-7=-1 \cdot -1,\: 7-(2\cdot -1)=9,\: 8-9=1 \cdot -1[/tex]
[tex]1=1, \: 9=9, \: -1=-1[/tex]

Dermed har jeg vist at hvis a-b=kn og b-c=tn så er a-c=sn for noen verdier, der n er et fast tall.Enig?

Posted: 02/09-2009 21:28
by FredrikM
Absolutt ikke. :)

Du viser kun at det stemmer for et endelig antall spesifikke verdier. Det skal stemme for absolutt alle mulige a, b, c. Gjør det mer generelt og bruk litt algebra.

Posted: 02/09-2009 21:50
by Wentworth
Vel for alle a, b og c får vi det til å stemme slik ;

Vi har;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c, \: a-c=sn[/tex]

Løser den siste for c og setter i den nest siste likningen, da har vi;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=a-sn[/tex]
Løser for a fra den andre likningen og setter i den første for a og får;
[tex]b-tn+sn-b=kn[/tex]
[tex]sn-tn=kn[/tex]
Deler med n for alle leddog får;
[tex]s-t=k[/tex]

Fra mitt forrige innlegg ser man at s=1, t=2 og k=-1.
Setter inn og ser om venstre siden er lik høyre siden;
1-2=-1
-1=-1
Da skulle vi være i mål :)

Posted: 02/09-2009 21:55
by FredrikM
Du er på sporet av noe, men du driver fremdeles med disse spesifikke verdiene. Kutt ut alle tall, og regn kun med symboler.


*Notater*:
a+kn=b
b+in=c

a+kn=c-in
a+n(k+i)=c

Posted: 02/09-2009 22:31
by Wentworth
Det er ikke verre enn, hvis jeg setter k+s=t så beviser jeg det slik;

[tex]a-b=kn[/tex]
og
[tex]b-c=sn[/tex]

så er
[tex]a-c=tn[/tex]

Bevisføringen blir slik;
Regner ut b fra den første likningen og setter for b inn i den andre likningen og får;
[tex]a-kn-c=sn [/tex]
Fikser på likningen og får;
[tex]a-c=sn+kn[/tex]
[tex]a-c=(s+k)n[/tex]
Dermed er;
[tex]a-c=tn[/tex]

Over har jeg vist at dersom ;
[tex]a \equiv b[/tex]
og
[tex]b \equiv c[/tex]
så er
[tex]a \equiv c[/tex]:D

Posted: 02/09-2009 22:46
by FredrikM
Der er du i mål.

Kunne kuttet ut "utnytter at"-delen, for alt du trengte å vise var at det finnes et heltall z slik at a-c=zn. Du fant dette heltallet, og da er du i mål.

Posted: 03/09-2009 00:51
by Gustav
For å sette det hele i et litt større perspektiv:

[tex]\equiv[/tex] definerer her en ekvivalensrelasjon som er

i) Refleksiv
ii) Symmetrisk
iii) Transitiv

Mer om dette her http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation
for interesserte studenter av diskret matematikk:)