Page 1 of 1
Vis at a deler c.
Posted: 02/09-2009 17:56
by Wentworth
I denne oppgaven er n et fast naturlig tall.Dersom a, b er element i Z skriver vi a\equiv b hvis a-b er delelig med n.
a)Vis at hvis [tex]\: a \equiv b \: ,[/tex] og ,[tex] \: b\equiv c[/tex], så er [tex]\: a \equiv c[/tex].
Posted: 02/09-2009 19:41
by FredrikM
[tex]\equiv[/tex] \equiv i LaTeX
På mer forståelig norsk sier oppgaven:
Hvis a deler b, og b deler c, hvis at a deler c.
Hint: Hvis a deler b, kan man skrive ak=b (for en eller annen k). Spill videre på dette.
Posted: 02/09-2009 20:28
by Wentworth
a)svar:
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]
La n være et heltall;
Da får vi;
[tex] an=b, \: bn=c, \: an=c[/tex]
La n=2 og a=4.Det gir;
[tex]4\cdot 2=8,\: 8\cdot 2=16,\: 4\cdot2=8,\: \:[/tex] c skulle jo bli 16?
Mulig jeg surrer...
Posted: 02/09-2009 20:36
by Karl_Erik
Det er fordi [tex]a \equiv b[/tex] ikke betyr at [tex]an=b[/tex]. Det betyr at [tex]a-b=kn[/tex] for et heltall [tex]k[/tex].
Posted: 02/09-2009 20:45
by Wentworth
[tex]a\equiv b, \; b\equiv c , \: a \equiv c.[/tex]
Man leser det som a deler b , b deler c, a deler c.
La s, t, k være tallene i mengden Z;
Da får vi;
[tex] as=b, \: bt=c, \: ak=c[/tex]
La a=4, s=5,t=2,k=10 Det gir;
[tex]4\cdot5=20, \: 20 \cdot 2=40, \: 4 \cdot 10=40[/tex]
Hva betyr notasjonen [tex]\: a-b[/tex]?
Posted: 02/09-2009 21:00
by mrcreosote
FredrikMs oversettelse av oppgava er ikke korrekt, dropp den. Bruk Karl_Erik sitt hint. Notasjonen [tex]a-b[/tex] betyr a minus b.
Posted: 02/09-2009 21:12
by FredrikM
Småflau nå. Men rotet. Forøvrig er det en fin ekstraoppgave å vise det min gale oversettelse hinter til.
Ihvertfall, som plaster på rotet mitt: [tex]a \equiv b (mod n)[/tex] betyr, som Karl_Erik så presist sa, at a-b=kn, for en eller annen heltalls-k. La f.eks n være 3:
Da er [tex]1 \equiv 4 (mod 3)[/tex]. Eller [tex]3 \equiv 0 (mod 3)[/tex].
Posted: 02/09-2009 21:23
by Wentworth
Ok,vi vet at [tex]a \equiv b \: ,[/tex]betyr som følger;
[tex]a-b=kn \:[/tex] der k er et heltall og n et fast tall.
Vi setter a=8 ,b=7,n=-1,k=-1,t=2,s=1.Da har vi;
[tex]a \equiv b,\: b \equiv c, \: a \equiv c[/tex]
eller;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c,\: a-c=sn[/tex]
Innsatt får vi;
[tex]8-7=-1 \cdot -1,\: 7-(2\cdot -1)=9,\: 8-9=1 \cdot -1[/tex]
[tex]1=1, \: 9=9, \: -1=-1[/tex]
Dermed har jeg vist at hvis a-b=kn og b-c=tn så er a-c=sn for noen verdier, der n er et fast tall.Enig?
Posted: 02/09-2009 21:28
by FredrikM
Absolutt ikke.
Du viser kun at det stemmer for et endelig antall spesifikke verdier. Det skal stemme for absolutt alle mulige a, b, c. Gjør det mer generelt og bruk litt algebra.
Posted: 02/09-2009 21:50
by Wentworth
Vel for alle a, b og c får vi det til å stemme slik ;
Vi har;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=c, \: a-c=sn[/tex]
Løser den siste for c og setter i den nest siste likningen, da har vi;
[tex]a-b=kn, \: b-tn=a-sn[/tex]
Løser for a fra den andre likningen og setter i den første for a og får;
[tex]b-tn+sn-b=kn[/tex]
[tex]sn-tn=kn[/tex]
Deler med n for alle leddog får;
[tex]s-t=k[/tex]
Fra mitt forrige innlegg ser man at s=1, t=2 og k=-1.
Setter inn og ser om venstre siden er lik høyre siden;
1-2=-1
-1=-1
Da skulle vi være i mål

Posted: 02/09-2009 21:55
by FredrikM
Du er på sporet av noe, men du driver fremdeles med disse spesifikke verdiene. Kutt ut alle tall, og regn kun med symboler.
*Notater*:
a+kn=b
b+in=c
a+kn=c-in
a+n(k+i)=c
Posted: 02/09-2009 22:31
by Wentworth
Det er ikke verre enn, hvis jeg setter k+s=t så beviser jeg det slik;
[tex]a-b=kn[/tex]
og
[tex]b-c=sn[/tex]
så er
[tex]a-c=tn[/tex]
Bevisføringen blir slik;
Regner ut b fra den første likningen og setter for b inn i den andre likningen og får;
[tex]a-kn-c=sn [/tex]
Fikser på likningen og får;
[tex]a-c=sn+kn[/tex]
[tex]a-c=(s+k)n[/tex]
Dermed er;
[tex]a-c=tn[/tex]
Over har jeg vist at dersom ;
[tex]a \equiv b[/tex]
og
[tex]b \equiv c[/tex]
så er
[tex]a \equiv c[/tex]

Posted: 02/09-2009 22:46
by FredrikM
Der er du i mål.
Kunne kuttet ut "utnytter at"-delen, for alt du trengte å vise var at det finnes et heltall z slik at a-c=zn. Du fant dette heltallet, og da er du i mål.
Posted: 03/09-2009 00:51
by Gustav
For å sette det hele i et litt større perspektiv:
[tex]\equiv[/tex] definerer her en
ekvivalensrelasjon som er
i) Refleksiv
ii) Symmetrisk
iii) Transitiv
Mer om dette her
http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation
for interesserte studenter av diskret matematikk:)