matematikk.net

plages litt med en oppgave her ..
oppgaven lyder som følger:

1) Undersøk om rekka [symbol:sum] ((e^n)/n!) fra n=0 til uendelig
konvergerer eller divergerer

2) Hvilken verdi konvergerer tallfølgen {(e^n)/n!} mot

Ser vi på potensrekka

[tex]f(x)=\sum_0^{\infty}\frac{x^n}{n!}[/tex] vil denne ha uendelig konvergensradius, derfor vil rekka med x=e konvergere.

http://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence

Deriverer vi vil vi få ligninga

f^,(x)=f(x)

Dette er en separabel diff.ligning så vi kan integrere:

[tex]\int \frac{df}{f}=x+C[/tex] for en konstant C.

Dermed er ln(f)=x+C så f=f(0)e^{x}

f(0)=1, så

[tex]f(e)=e^e[/tex]

Om du mener tallfølge som i "ett og ett" element og ikke "summen av hele pakka", så konvergerer denne mot null.

FredrikM wrote:Om du mener tallfølge som i "ett og ett" element og ikke "summen av hele pakka", så konvergerer denne mot null.

takk for svar, men hvordan kan jeg vise at tallfølgen konvergerer mot null ?

rabs wrote:

FredrikM wrote:Om du mener tallfølge som i "ett og ett" element og ikke "summen av hele pakka", så konvergerer denne mot null.

takk for svar, men hvordan kan jeg vise at tallfølgen konvergerer mot null ?

Bevis
Gitt at følgen konvergerer:
Anta at [tex]\lim_{n\to\infty }\frac{e^n}{n!}=k\neq 0[/tex] Da vil [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^n}{n!}[/tex] åpenbart divergere, noe som gir en motsigelse.