matematikk.net

Ble litt inspirert av alle trådene om konvergens av rekker osv på forumet for tiden, så satte meg ned med noen oppgaver mens jeg venter på at simuleringer skal bli ferdig, og kom da over noe som tydeligvis ikke sitter like godt som for fire år siden :p

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{e^n}[/tex]

Det er greit å se at denne konvergerer. Slik jeg ser det domineres den av [tex]\sum \left(\frac1e\right)^n[/tex], mens fasit sier at den domineres av [tex]\sum\left(\frac2e\right)^n[/tex].

Så da lurer jeg på, hvor kommer 2-tallet fra?

Samme gjelder forøvrig [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}[/tex], som i mine øyne domineres av [tex]\sum \frac1{n^2}[/tex], mens de i fasit sier at den domineres av blant annet [tex]\sum \frac1{n^{3/2}[/tex].

Hvorfor 3/2 og ikke f.eks 2 som faktor i P-rekken (eller hva det den typen rekker heter på norsk).

Fra hvor får du at [tex]\frac{ln(n)}{e^n}<(\frac1e )^n[/tex] ? Dette er vel ikke tilfelle siden f.eks. ln(3) er større enn 1.

Men vi har at

[tex]ln(n)<2^n[/tex] for hele [tex]n>0[/tex]

Bevis:

Har at ln(1)=0<2 og ln(2)<4.

Anta at [tex]k>1[/tex] og [tex]ln(k)<2^k[/tex] . Siden

[tex]k^2-k-1>0[/tex] for heltall k>1 (polynomets røtter er begge mindre enn 2) er

[tex]\frac{k+1}{k^2}<1[/tex] så [tex]ln(k+1)<2ln(k)<2^{k+1}[/tex]

PS:
2-tallet kommer vel fra at det eneste heltallet som er større enn 1 og mindre enn e er 2. Det vil være heller merkelig å velge f.eks. 2.094847

"Doh", ser at jeg har glemt mer enn jeg trodde ja. Like greit at jeg leser litt her for å friske opp så jeg ikke glemmer alt helt - tross alt ikke dette jeg driver med ellers.

Jeg tenkte vel at [tex]e^n\quad>\quad \ln(n)\quad \forall\quad n[/tex], og at eksponential-leddet da dominerer og vil bestemme om rekken kovergerer/divergerer, men ser at det ikke blir riktig tankegang nå, selv om det ikke var aaaaaaaalt for langt unna. Men viktig å ta hensyn til telleren og ja.


Takk for raskt svar forresten.