matematikk.net

Hvordan løser man denne?;

Oppgave 11.
La [tex]\: f(x)=e^{x^2} \:[/tex].Vis ved induksjon at [tex]\: f^{(n)}(x)=p_{n}(x)e^{x^2} \: [/tex] der [tex]\: p_{n}(x) \:[/tex] er et n-te grads polynom.
([tex]\: f^{(n)}(x) \:[/tex] er den n-te deriverte til [tex]\: f(x)\:[/tex]. Du behøver ikke å finne en formel for [tex]\: p_{n}(x)[/tex].)

Anta at det gjelder for n=1. Du kan vise dette ved å derivere.

Anta så at det gjelder for n.

Hvordan kan du nå vise at det gjelder for n+1, og dermed alle n?

Kan du gi et eksempel for når det gjelder for n?(altså hvordan man kommer fram til at det gjelder for n?)

La det gjelde for n per antakelse, og vis at om det gjelder for n må det også gjelde for n+1.

Wentworth wrote:Kan du gi et eksempel for når det gjelder for n?(altså hvordan man kommer fram til at det gjelder for n?)

Som espen180 sier gjelder det for eksempel for [tex]n=1[/tex]. Dette kan du komme fram til ved å derivere funksjonen i oppgaven. Antagelsen er at den n-te deriverte til funksjonen er [tex]p_n (x) e^{x^2}[/tex], der [tex]p_n (x)[/tex] er et n-te gradspolynom. I tilfellet [tex]n=1[/tex] holder det derfor å sjekke at den deriverte til funksjonen er [tex]p_1 (x) e^{x^2}[/tex], der [tex]p_1 (x)[/tex] er et førstegradspolynom.

Ja, det var noe slik jeg tenkte og prøvde meg fram slik;

For [tex]\: P_{1} \:[/tex] har vi;
[tex](1 \cdot e^{n^2})`=2ne^{n^2}[/tex]

For [tex] \: P_{n} \:[/tex] har vi;
[tex](n \cdot e^{x^2})`=n` \cdot e^{n^2}+n \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]1 \cdot e^{n^2}+n \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]e^{n^2}+2n^{2}e^{n^2}[/tex]

For [tex]\: P_{n+1} \:[/tex] har vi;
[tex]((n+1) \cdot e^{n^2})`=[/tex]
[tex](n+1)` \cdot e^{n^2} + (n+1) \cdot 2ne^{n^2}=[/tex]
[tex]1 \cdot e^{n^2} + 2n^2+2ne^{n^2}[/tex]

Blir det riktig slik?

Vet ikke helt om jeg forstår hva du prøver å gjøre.

n=1 er grei.

Så skal du anta at det stemmer for n=k.

Mao. Du antar at [tex][e^{x^2}]^{(n)}=p(x)_ne^x^2[/tex]
Hvor p(x) er et n-tegradspolynom.

Nå skal du vise at dette medfører at påstanden stemmer for n=k+1. Dette gjør vi ved å derivere [tex][e^{x^2}]^{(n)}[/tex]:

[tex][p(x)_ne^x^2]^,=p^,(x)e^x^2+2xp(x)e^{x^2}=(p^,(x)+2xp(x))e^{x^2}[/tex]

Og nå ser vi jo at dette er et n+1-gradspolynom fordi siden p(x) er et n-tegradspolynom, er xp(x) et n+1-gradspolynom.

QED.

Takk skal du ha !Nå fikk jeg denne til å stemme.