matematikk.net

Hei, jeg trenger litt hjelp med forslag på mulige svar til denne oppgaven som er en mer teoretisk oppgave i matte. Denne oppgaven skal visst være av ganske vanskelig grad i følge læreren.

Uansett, i oppgaven har vi følgende Matrise:

0,5 0,25 0,2
0,45 0,55 0,25
0,05 0,2 0,55

I oppgaven får vi følgende opplysninger:
''Denne Matrisen har en litt spesiell egenskap, nemlig at summen av tallene i hver kolonne er 1. Dette medfører faktisk at verdien 1 må være en egenverdi for den samme matrisa. Kan du gi et teoretisk argument for dette?''

Foreløpig er jeg helt blank når det kommer til en slik oppgave selv om jeg klarer å regne egenverdi osv. Men en sånn oppgave som krever en slags tolkning, synes jeg er ganske vrien.

Du kan bevise dette ved å vise at likningen [tex](A - I)[/tex]x = 0 har en ikke-triviell løsning x [symbol:ikke_lik] 0, f.eks. x = [61 86 45[tex]]^t[/tex]. Dermed er 1 per definisjon en egenverdi for A.

Først tenker du deg at det er snakk om radene til A og ikke kolonnene. Du ser jo lett at dersom summen av elementene i alle radene til en matrise A er 1 må 1 også være en egenverdi for matrisen, da [tex]Ax=x[/tex] opplagt har løsningen [tex]x=[1, 1, ... 1][/tex]. Altså er 1 en egenverdi for en matrise A hvis summen av elementene til radene til A alle blir 1. Men vi er interesserte i matriser der summen av elementene i kolonnene er 1, så vi må se på egenverdiene til [tex]A^T[/tex], dvs den transponerte av [tex]A[/tex].

Vi vil vise at disse har de samme egenverdiene. Tenk deg først at [tex]\lambda[/tex] er en egenverdi av [tex]A[/tex], dvs [tex]det(A-\lambda I ) = 0[/tex]. Men da har vi jo også [tex]det(A^T-\lambda I ) = det(A^T-\lambda I^T ) = det((A-\lambda I )^T) = det(A-\lambda I ) = 0[/tex], så [tex]\lambda[/tex] er også en egenverdi av [tex]A^T[/tex]. Altså har en matrise og dens transponerte de samme egenverdiene.

Takk for svar. Jeg skjønner en del av hva som blir sagt her, men dette var fortsatt litt komplisert Vel, jeg antar at det er meningen siden dette skulle være en vanskelig oppgave.