Jeg har en funksjon [tex]f_Y(y; \theta)=\frac{1}{\theta}[/tex], [tex]0 \leq y \leq \theta[/tex], hvor [tex]\theta[/tex] er ukjent, og har estimator [tex]\hat{\theta} = \frac{n+1}{n}Y_{max}[/tex]. Jeg har funnet ut (ved hjelp av teori for "order statistics"), at [tex]\hat{\theta} = \frac{n+1}{\theta^n}y^{n-1}[/tex].
Problemet er at jeg ikke vet hvordan jeg finner forventningsverdien og variansen til estimatoren [tex]\hat{\theta}[/tex]. Noen som kan hjelpe meg?
Finne variansen til en estimator (matematisk statistikk)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Forventninga beregnes på vanlig måte siden du kjenner fordelinga til estimatoren: [tex]E(\hat\theta)=\int_0^\theta \hat\theta y dy = \theta[/tex], så estimatoren er forventningsrett, og variansen finner du etter å ha beregna [tex]E(\hat\theta^2)=\int_0^\theta \hat\theta y^2 dy[/tex].
Men da får jeg at [tex]E(\hat{\theta}^2)=\frac{n+1}{n+2}\theta^2[/tex], og siden dette er mindre enn [tex]E(\hat{\theta})^2=\theta^2[/tex], så blir variansen negativ... og det kan ikke stemme.
Takker forøvrig for hjelpen.
OPPDATERING
Her følger forøvrig oppgaven i sin helhet:
Let [tex]Y_1, Y_2,...,Y_n[/tex] be a random sample from the uniform pdf [tex]f_Y(y; \theta)=\frac{1}{\theta}, 0 \leq y \leq \theta[/tex]. Compare the Cramér-Rao lower bound for [tex]f_Y(y; \theta)[/tex] with the variance of the unbiased estimator [tex]\hat{\theta}=\frac{n+1}{n}Y_{max}[/tex]. Discuss.
Takker forøvrig for hjelpen.
OPPDATERING
Her følger forøvrig oppgaven i sin helhet:
Let [tex]Y_1, Y_2,...,Y_n[/tex] be a random sample from the uniform pdf [tex]f_Y(y; \theta)=\frac{1}{\theta}, 0 \leq y \leq \theta[/tex]. Compare the Cramér-Rao lower bound for [tex]f_Y(y; \theta)[/tex] with the variance of the unbiased estimator [tex]\hat{\theta}=\frac{n+1}{n}Y_{max}[/tex]. Discuss.
Jeg tar det fra grunnen av...
[tex]Y_{max}\leq y[/tex] er det samme som at [tex]Y_i\leq y[/tex] for alle [tex]Y_i[/tex].
[tex]P(Y_i\leq y)=\frac{1}{\theta}\cdot y[/tex]
cdf for [tex]Y_{max}[/tex] blir derfor [tex] (\frac{y}{\theta})^n[/tex] slik at pdf for [tex]Y_{max}[/tex] blir [tex]\frac{n}{\theta^n}\cdot y^{n-1}[/tex]. Forventningsverdien for estimatoren blir der for
[tex]E(\hat\theta)=\frac{n+1}{n}E(Y_{max})=\frac{n+1}{\theta^n}\int_0^{\theta}y^n\,dy=\theta[/tex] så estimatoren er forventningsrett.
[tex]E(\hat\theta^2)=(\frac{n+1}{n})^2E(Y_{max}^2)=(\frac{n+1}{n})^2\cdot\frac{n}{\theta^n}\int_0^{\theta}y^{n+1}=(\frac{n+1}{n})^2\cdot\frac{n}{\theta^n}\frac{\theta^{n+2}}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\cdot \theta^2>\theta^2[/tex]
Ser ut til at du har glemt en eksponent... (hvis mine utregninger stemmer da:)
[tex]Y_{max}\leq y[/tex] er det samme som at [tex]Y_i\leq y[/tex] for alle [tex]Y_i[/tex].
[tex]P(Y_i\leq y)=\frac{1}{\theta}\cdot y[/tex]
cdf for [tex]Y_{max}[/tex] blir derfor [tex] (\frac{y}{\theta})^n[/tex] slik at pdf for [tex]Y_{max}[/tex] blir [tex]\frac{n}{\theta^n}\cdot y^{n-1}[/tex]. Forventningsverdien for estimatoren blir der for
[tex]E(\hat\theta)=\frac{n+1}{n}E(Y_{max})=\frac{n+1}{\theta^n}\int_0^{\theta}y^n\,dy=\theta[/tex] så estimatoren er forventningsrett.
[tex]E(\hat\theta^2)=(\frac{n+1}{n})^2E(Y_{max}^2)=(\frac{n+1}{n})^2\cdot\frac{n}{\theta^n}\int_0^{\theta}y^{n+1}=(\frac{n+1}{n})^2\cdot\frac{n}{\theta^n}\frac{\theta^{n+2}}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\cdot \theta^2>\theta^2[/tex]
Ser ut til at du har glemt en eksponent... (hvis mine utregninger stemmer da:)
