matematikk.net

Jeg poster hele oppgaven her jeg. Jeg trenger ikke hjelp til hele, bare deler av den.

Let [tex]Y_1, Y_2,..., Y_n[/tex] be a random sample of size [tex]n[/tex] from a normal pdf having [tex]\mu=0[/tex]. Show that [tex]S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{Y_i^2}[/tex] is a consistent estimator for [tex]\sigma^2=Var(Y)[/tex].

Men i mine utregninger trenger jeg å vite hva [tex]Var(Y^2)[/tex] er for noe... og det er det jeg trenger hjelp med. Mulig det er ganske straightforward siden [tex]\mu=0[/tex], men jeg vet ikke...

Noen snille smarte som kan hjelpe meg? =)

Tenkte forøvrig å bruke Chebyshevs ulikhet for å løse dette... huff.

EDIT

Ifølge den skulle [tex]P(|S_n^2| < \epsilon) > 1 - \frac{Var(S_n^2)}{\epsilon^2}[/tex], og da er det vel klart at jeg trenger [tex]Var(Y^2)[/tex]?

Huff, ble helt desperat nå jeg.

Hm... eller blir det rett og slett [tex]Var(Y)^2[/tex]?

En stund siden jeg drev med dette nå, men du ser ut til å være på rett spor. Du bør vurdere om du får bruk for at [tex]Var(Y^2)=E(Y^4)-(E(Y^2))^2[/tex]

Da jeg regnet på det, fikk jeg [tex]Var(S_n^2)=\frac{2\sigma^4}{n}[/tex]

Blir det ikke helt syke utregninger, med fjerdemomentet inne i bildet?

fish wrote:En stund siden jeg drev med dette nå, men du ser ut til å være på rett spor. Du bør vurdere om du får bruk for at [tex]Var(Y^2)=E(Y^4)-(E(Y^2))^2[/tex]

Da jeg regnet på det, fikk jeg [tex]Var(S_n^2)=\frac{2\sigma^4}{n}[/tex]

Jeg klarte visst å regne det ut allikevel, og fikk akkurat samme svar som deg. Tusen takk for hjelpen! Jeg tror jeg har fått det til nå...

Hadde vært fint å sett hvordan du bruker Chebyshevs ulikhet til å vise at estimatoren er konsistent...

Jo, den sier jo, i den utgaven som den står på i min lærebok, at [tex]P(|S_n^2-\sigma^2| < \epsilon) \geq 1 - \frac{Var(S_n^2)}{\epsilon^2} = 1 - \frac{2\sigma^4}{n\epsilon^2}[/tex]. Så for [tex]\epsilon, \delta, \sigma^2[/tex] så kan vi alltids finne en [tex]n[/tex] slik at [tex]\frac{2\sigma^4}{n\epsilon^2} < \delta[/tex]. Derfor vil [tex]P(|S_n^2-\sigma^2| < \epsilon) = 1[/tex] om [tex]n \rightarrow \infty[/tex].