matematikk.net

Si at vi har et koordinatene til et punkt i to forskjellige refereansesystemer;
[tex](x^1,x^2,...,x^N)[/tex] og [tex](\bar{x}^1,\bar{x}^2,...,\bar{x}^N)[/tex]
(Merk: 1,2,...,N er ikke eksponenter.)

Disse referansesystemene har reladsjonen

[tex]\bar{x}^k=f^k(x^1,x^2,...,x^N)[/tex]

og omvendt.

Så sier man at om [tex]N[/tex] størrelser [tex]A^1, A^2,...,A^N[/tex] i [tex](x^1,x^2,...,x^N)[/tex] er relatert til [tex]N[/tex] andre størrelser [tex]\bar{A}^1,\bar{A}^2,...,\bar{A}^N[/tex] i [tex](\bar{x}^1,\bar{x}^2,...,\bar{x}^N)[/tex] ved transformasjonsligningen

[tex]\bar{A}^p=\sum_{q=1}^N \frac{\partial \bar{x}^p}{\partial x^q}A^q[/tex]

er de cotravariante vektorer. [tex]A^q[/tex] kan f.eks. være koordinatene til vektoren [tex]A[/tex].(?)

Om de er relatert gjennom transformasjonsligningen

[tex]\bar{A}_p=\sum_{q=1}^N \frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}^p}A_q[/tex]

er de covariante vektorer.

Hvis vi ser bort fra måten de undergår transformasjoner på, hva er forskjellen mellom en contravariant og en covariant vektor?

Tja, det er vel nettopp transformasjonsegenskapen som karakteriserer forskjellen. En kovariant tensor vil transformere på en bestemt måte under koordinattransformasjoner, det samme gjelder kontravariante tensorer. Jeg vet ikke hvordan man ellers skal beskrive forskjellen.

Jeg foreslår at du begynner med å bli godt vant med Einsteins summekonvensjon, bruken av Levi-Civita tensoren, heving og senking av indekser ved hjelp av metrisk tensor osv. http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol

Er det sånn at kontravariante vektorer har kovariante komponenter? Og typ at en vektor v gir
[tex]v=\alpha^{\mu}x_{\mu}=\alpha_{\mu}x^{\mu}[/tex]

Metrisk tensor [tex]g_{ij}[/tex] og [tex]g^{ij}[/tex] bruker typisk til å henholdsvis senke og heve indekser. I summekonvensjonen vil en indeks i superscript og gjentatt i subscript bety at man summerer over den. Indreproduktet er typisk

[tex]v^iv_i=\sum_i v_iv^i[/tex]

[tex]g_{ij}v^i=v_j[/tex] og

[tex]g^{ij}v_i=v^j[/tex] så dersom vi substituerer inn i summen blir

[tex]\sum_i v_iv^i=g_{ij}v^jv^i[/tex]

Man har også at

[tex]g_{ik}g^{kj}=g_i^j[/tex] som er lik Kroenecker deltaet.

Hvordan skiller korenecker deltaene [tex]\delta_{ij}[/tex] og [tex]\delta_i^j[/tex] seg fra hverandre? Er det ikke felles for begge at
[tex]\delta_{ij},\delta_i^j=\left{\begin{matrix} \,\,\, 1 \, \text{iff} \, i=j \\ 0 \, \text{iff} i\neq j \end{matrix}[/tex]
?

Om jeg har forstått det rett, transformerer [tex]\delta_{ij}[/tex] en contravariant vektor til en covariant, mens [tex]\delta_i^j[/tex] ikke utøver noen transformasjon, altså [tex]\delta_i^jv^i=v^j[/tex].

Jeg må innrømme at det er lenge siden jeg sysla med slikt, og det var i sammenheng med klassisk feltteori i fysikk, så fokuset var ikke på det "matematiske" ved dette, heller bruken av det. Såvidt jeg husker tror jeg ikke det er noen forskjell på de to deltaene du beskriver.

16.16 på denne viser til dette

http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/phy3 ... de131.html

Hmm.

Om [tex]\delta_{ij}=\delta_i^j[/tex] må jo [tex]\delta_{ij}v^i=\delta_i^j v^i[/tex], altså [tex]v_j=v^j[/tex].

Jeg tenkte at det ville være en forskjell mellom komponentene til contravariable og covariable vektorer, men slik er det altså ikke?

Jo, det er ikke [tex]\delta[/tex] man bruker for heving og senking, men den metriske tensoren g, og det hele avhenger av geometrien i det rommet man arbeider. I flatt rom vil vel

[tex]g_{00}=1[/tex] og

[tex]g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1[/tex] og 0 ellers, så en kontravariant vektor

[tex]A=(A_0,A_1,A_2,A_3)[/tex] vil transformeres:

[tex]A^0=g^{00}A_0=A_0[/tex] mens

[tex]A^1=g^{11}A_1=-A_1[/tex] etc.

Merk at [tex]A^{\beta}=\sum_{\alpha} g^{\beta \alpha}A_ {\alpha}[/tex]. Og [tex]g^{\beta\alpha}=0[/tex] hvis [tex]\alpha\neq\beta[/tex]

Man kan utlede slik

[tex]g_a^c=g^{cb}g_{ab}[/tex] og

[tex]g^{dc}=g^{da}g_a^c=g^{da}g^{cb}g_{ab}=\sum_{a,b}g^{da}g^{cb}g_{ab}[/tex]

Dersom c=d=1 blir

[tex]g^{11}=\sum_{a,b}g^{1a}g^{1b}g_{ab}=g^{11}g^{11}g_{11}=-g^{11}g^{11}[/tex] som betyr at vi må ha

[tex]g^{11}=-1[/tex].

Det er også klart at kontrasjonen [tex]g_{ab}g^{bc}=\sum_{b}g_{ab}g^{bc}=g_a^c=\delta_{a,c}[/tex]

PS: Ser at det er vanlig å bruke [tex] \eta[/tex] for Minkowski metrikken, ikke g... Det er også vanlig å bruke motsatte fortegn på komponentene, men det varierer fra bok til bok.

espen180 wrote:Hvordan skiller korenecker deltaene [tex]\delta_{ij}[/tex] og [tex]\delta_i^j[/tex] seg fra hverandre? Er det ikke felles for begge at
[tex]\delta_{ij},\delta_i^j=\left{\begin{matrix} \,\,\, 1 \, \text{iff} \, i=j \\ 0 \, \text{iff} i\neq j \end{matrix}[/tex]
?

Om jeg har forstått det rett, transformerer [tex]\delta_{ij}[/tex] en contravariant vektor til en covariant, mens [tex]\delta_i^j[/tex] ikke utøver noen transformasjon, altså [tex]\delta_i^jv^i=v^j[/tex].

Ah, beklager, jeg skjønner hva du mener her. Du er i vanlig 3-dimensjonalt rom og da vil [tex]\delta[/tex] sammenfalle med metrikken. I tillegg vil man ikke skille mellom ko- og kontravariante vektorkomponenter, så det er riktig at de er like. Jeg tenkte konsekvent 4-d og flatt rom.