matematikk.net

Hei.

Jeg har en følge som er gitt ved differenslikningen :

[tex]X_n=\frac {X_n_-_1}3 + \frac{(n+1)}n[/tex]

der [tex]X_0=3[/tex]


Oppgaven er at jeg skal vise ved induksjon at 3/2 ≤ Xn ≤ 3 for alle heltall n ≥ 0.
Da dette dessverre bød på uventede problemer ville jeg bli svært takknemlig for hjelp.

Anta at [tex]X_{n-1}\leq 3[/tex]. Da er

[tex]X_n=\frac{X_{n-1}}{3}+\frac{n+1}{n}\leq 1+\frac{n+1}{n}=2+\frac{1}{n}[/tex].

Dersom [tex]n\geq 1[/tex] er [tex]\frac{1}{n}\leq 1[/tex] så

[tex]X_n\leq 2+\frac1n\leq 2\leq 3[/tex]

Siden [tex]X_0=3\leq 3[/tex] gir induksjonen at [tex]X_n\leq 3 \,\,\forall n\in\mathbb{N}[/tex].

Prøv å gjør beviset for nedre grense analogt.

Takk.