Polynom mot uendelig og begrensende K-verdi.

[Betelgeuse]

Vi har et reelt polynom.. eller JEG har et reelt polynom! Føler jeg blir shcizofren av å lese for mye matematikk-tekster.

Et polypolynom <3 :

[tex]P(x) = x^n + a_{\tiny n-1}x^{n-1} + a_{\tiny n-2}x^{n-2} + ... + a_{\tiny1}x + a_{\tiny0}[/tex]

der graden til n er et partall. Vis at [tex]\lim_{x\to\infty}P(x) = \infty[/tex] og at [tex]\lim_{x\to-\infty}P(x) = \infty[/tex]. Vis deretter at det finnes et tall K s.a P(x) > K for alle x element i R.

Vrien oppgave. Jeg så den bli gjennomgått i en plenumsregning i mat1100 på UIO, men fulgte ikke godt nok med.

Mener å huske at det man gjorde var å dele på et annet polynom av grad x^n og se på grensen av resultatet som ble en konstant.. Det at grensen av et polynom delt på et annet polynom som går mot uendelig er en konstant, er det nok til å slå fast at polynomet P(x) går mot uendelig? Intuitivt gir det jo mening at polynomet skal gå mot uendelig uansett, spesielt siden graden av polynomet er et partall, men trenger en metode som er vanntett.

Videre er jeg også ganske på glattisen når det gjelder å vise eksistensen av K'en. Intuitivt stemmer det jo fordi den går jo mot positiv uendelig i begge x- retninger og da følger det vel at den er begrenset i negativ y-retning. Oppgaven står forresten i et kapittel om ekstremalverdisetningen. Noen som kan hjelpe meg på vei?

[Gustav]

Vi vet jo at n-gradspolynomet [tex]Q(x)=x^n[/tex] går mot [symbol:uendelig] for like n.

Så dersom

[tex]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}[/tex] er endelig ulikt 0 må P(x) gå mot uendelig.

Du bruker bare at grensen til et produkt er produktet av grensene. Hvis P(x) går mot et endelig tall, vil jo grensen til brøken over gå mot et endelig tall delt på uendelig, altså 0.

[Betelgeuse]

Stemmer.. og siden vi vet at x^n alltid vil være positiv, dvs vi har noe positivt under brøkstreken og vi ender opp med en positiv konstant så følger det at P(x) må gå mot positiv uendelig.

Hva med denne K verdien. Tror du at det er meningen at man skal bruke en setning for å bevise eksistensen av den?

[mrcreosote]

Siden P(x) går mot uendelig i begge retninger, fins det for alle M en y>0 slik at når |x|>y, er P(x)>M. Se nå på P(x) på intervallet [-y,y]. Hva sier ekstremalverdisetninga her?

[Betelgeuse]

Aha, vi definerer oss selv et lukket intervall [-y, y], der vi vet at P(x) går mot uendelig på begge sider av [-y, y], og siden P(x) er kontinuerlig vet vi da ved ekstremalverdisetningen at det finnes baade maksimums og minimumspunkter paa [-y, y]. Dermed finnes det en [tex] K : \ \left|P(x)\right| \ \geq \ K \ \forall \ x \in [-y, y][/tex]

Korrekt?

[Betelgeuse]

Kom over denne oppgaven igjen og begynte å stusse på noe som jeg bare har lyst å få bekreftet. Er hele grunnen til vi vurderer denne grensen i det hele tatt det at hvis vi bare ser på leddene i P(x) så vil vi kunne få den ubestemte formen [tex]\infty - \infty[/tex]?

Jeg stusset litt på det og lurte på om vi ikke bare ut ifra det faktum at vi vet at leddet [tex]x^n \to \infty[/tex] når [tex]x \to \infty[/tex] kunne konkludere med at hele polynomet gjorde det.. Men her er det vel altså snakk om et kappløp mellom større og mindre postive og negative uendeligheter ikke sant?

Kunne vi forresten også vist dette ved å se på

[tex]\lim_{x\to\pm\infty} x^n(1 + a_{n-1}xn^{-1} + a_{n-2} + ... + a_1x^{1-n} + a_0x^{-n}) = \infty(1 + 0 + 0 + 0) = \infty?[/tex]

[FredrikM]

Til siste spørsmål: Ja.