matematikk.net

[tex]z {:}|z|= \sqrt{5}|z-2|[/tex]

Her satte jeg [tex]\: z=x+iy \:[/tex] og fikk;

[tex]\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5} \sqrt{x^2+y^2-2^2}[/tex]

Det er ekvivalent med;
[tex]x^2+y^2=5x^2+5y^2-20[/tex]

[tex]-4x^2-4y^2=-20[/tex]

Dette blir ikke riktig,hvordan blir det riktig?

Det blir riktig slik:

[tex]|z-2|=|x+iy-2|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}[/tex]

Da sitter jeg igjen med;

[tex]\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5}\sqrt{(x-2)^2+y^2[/tex]

Opphøyer begge sidene i 2 og får;

[tex]x^2+y^2=5(x-2)^2+y^2[/tex]

Hadde satt pris på hva som skjer videre.

Fortsett med å gange ut høyresiden.

Edit: Forøvrig kan du også finne løsningen geometrisk. Du skal finne alle punkter som er slik at avstanden fra origo er lik avstanden fra 2 ganget med [tex]\sqrt 5[/tex]. Etter en del plundring skal du skjønne hva dette blir.

Da blir det;
[tex]x^2+y^2=5x^2-20x+20+y^2[/tex]

så?

Edit: Geometri: Sier du at avstanden fra origo til ethvertpunkt er lik [tex] \: 2\sqrt{5}\: ? [/tex]

Nei. La P være en punkt i løsningsmengden. Da gjelder det at [tex]|P|=\sqrt{5}|P-2|[/tex] (men nå skriver jeg bare opp spørsmålet ditt på nytt)

Når det gjelder algebraen, så har du regnet feil. Det skal ikke være [tex]y^2[/tex], men [tex]5y^2[/tex]

Regner du videre får du at
[tex]x^2-5x+y^2=0[/tex]

Fullfør kvadratet og se hva som skjer.

Altså har jeg;

[tex]x^2+y^2=5x^2-20x+20+5y^2[/tex]

Det gir;
[tex]4x^2-20x+20+4y^2=0[/tex]

Deler jeg på 4 (begge sider får jeg);

[tex]x^2-5x+5+y^2=0[/tex]

Altså får jeg ikke som du viser til;
[tex]x^2-5x+y^2=0[/tex]

Hvordan får man det til å stemme?

Og hva mener du med dette? ;

FredrikM wrote: Edit: Forøvrig kan du også finne løsningen geometrisk. Du skal finne alle punkter som er slik at avstanden fra origo er lik avstanden fra 2 ganget med [tex]\sqrt 5[/tex]. Etter en del plundring skal du skjønne hva dette blir.

Jeg glemte av konstantleddet. Det du fikk er rett. Fullfør kvadratet likevel.

Med geometri mener jeg at denne kan løses uten bruk av alle disse bokstavene.

[tex]x^2-5x+5+y^2=0[/tex]

Hvordan skjer fullføringen av kvadratet?

Og hvordan mener du man skal bruke geometrien til å løse oppgaven?
Kan du forklare avklarende?

Jeg bare glemmer y-en nå, for demonstrasjonens skyld:
[tex]x^2-5x+5=0[/tex]
[tex]x^2-5x+\frac {25}4+5=\frac {25}4[/tex]
[tex](x-\frac{\sqrt{5}}{2})^2+5=\frac {25}4[/tex]
[tex](x-\frac{\sqrt{5}}{2})^2=\frac{25}4-5=\frac 54[/tex]

Ja, da stemmer det.