Implisitt derivasjon mm.

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Archj
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 26/04-2008 18:52
Location: Lier

Heisann!

Driver og surrer noe voldsomt med en oppgave her, så noen tips e.l hadde vært veldig fint!

Oppgaven er: Kontroller at punktet (0,1) ligger på kurven y^3 = 2x+ [symbol:rot](x^2 + y^2). Finn tangentens likning i dette punktet.

Det er mulig at jeg har gått i surr med regler som ikke har noe direkte med implisitt derivasjon å gjøre, forresten. Jeg har kommet fram til to svar, 1/[symbol:rot]2 og 2/0 (så sistnevnte er feil).

Jeg tror kanskje det er kvadratroten som forvirrer meg, men jeg er ikke sikker. Alle tips setter jeg svært stor pris på!

På forhånd takk! :)
...
Andreas345
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 828
Joined: 13/10-2007 00:33

Her er slik jeg ville ha løst den: (Jeg er litt usikker jeg og, men, men).

[tex]\frac{d}{dx} \ y^3=\frac{d}{dx} \ 2x+sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2=2+\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+\frac{dy}{dx} \cdot \frac {y}{sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2\cdot sqrt{x^2+y^2}}{y-3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

I punktet (0,1)

[tex]\frac {dy}{dx}=\frac {-2}{-2}=1[/tex]
Archj
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 26/04-2008 18:52
Location: Lier

Oi, tror jeg har gått glipp av noe likevel jeg. Du kunne ikke forklart linje 2 og 3 litt nøyere? :(
...
Andreas345
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 828
Joined: 13/10-2007 00:33

Jeg deriverte "kvadratroten", den en gang med hensyn på x og en gang med hensyn på y, i linje 3 tok jeg bare å løste m.h.p [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]

Alternativt kan du se på det slik:

[tex]\frac {d}{dx}\sqrt{x^2+y^2}=\frac {1}{2\cdot sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x+2y\frac{dy}{dx})[/tex] som blir akkurat det samme.
Last edited by Andreas345 on 08/10-2009 21:06, edited 1 time in total.
meCarnival
Riemann
Riemann
Posts: 1686
Joined: 07/09-2007 19:12
Location: Trondheim

Sett inn og er begge sider like så er det et punkt på kurven.
[tex]y^3= 2x+\sqrt{x^2+1^2}[/tex]

[tex]1^3= 2 \cdot 0+\sqrt{0^2+1^2} \Rightarrow 1 = 1 \Rightarrow[/tex] punkt på kurven...

[tex]3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}= 2+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \( 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx}\)[/tex]

[tex]3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{y \cdot \frac{dy}{dx}}{\sqrt{x^2+y^2}}= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} \(3y^2 - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = \(2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) \cdot \({\frac{1}{3y^2} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}\)[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = {\frac{2}{3y^2} - \frac{2\sqrt{x^2+y^2}}{y}+\frac{x}{3y^2\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{x}{y}[/tex]
Last edited by meCarnival on 08/10-2009 21:22, edited 1 time in total.
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Andreas345
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 828
Joined: 13/10-2007 00:33

Legg merke til at svarene våre er det samme, bare at min faktorisering var litt finere :)
Archj
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 26/04-2008 18:52
Location: Lier

Er du sikker på at dere har det samme? Jeg får nemlig ikke det samme når jeg putter inn (0,1).

Tusen takk for utledningen også, lærte en del. Jeg hadde hvertfall korrekt tankegang! Men som jeg regnet med var det noen vanlige regneregler jeg hadde totalt glemt hehe... Har forresten et tilleggsspørsmål (håper det ikke er et dumt spørsmål :roll: ): Hvorfor deriveres kvadratroten "to ganger"?
...
Andreas345
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 828
Joined: 13/10-2007 00:33

Jeg bare antok at det var det samme, siden vi hadde likt her:

[tex]\frac{dy}{dx} \(3y^2 - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

Men mitt svar skulle være det riktige, har sett over det såpass mange ganger nå :P

Angående deriveringen så var jo den forklart i tidligere.

[tex]\frac {d}{dx}\sqrt{x^2+y^2}=\frac {1}{2\cdot sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x+2y\frac{dy}{dx})[/tex]

Regler brukt: Kjerne regelen + at [tex]\frac{d}{du} sqrt{u}=\frac{1}{2sqrt{u}}[/tex]
Archj
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 26/04-2008 18:52
Location: Lier

Nå har jeg prøvd en del på egen hånd, og greier å komme fram til svaret meCarneval fikk! Men jeg forstår absolutt ikke hvordan du har faktorisert deg fram til det du fikk, Andreas?
...
Andreas345
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 828
Joined: 13/10-2007 00:33

Husk på at du trenger ikke å faktorisere alt sammen før du setter inn verdiene,

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2=2+\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+\frac{dy}{dx} \cdot \frac {y}{sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}3=2+0+\frac{dy}{dx}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}(3-1)=2 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=1[/tex]

Men hvis du absolutt vil se faktoriseringen så gjorde jeg slik:

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2=2+\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+\frac{dy}{dx} \cdot \frac {y}{sqrt{x^2+y^2}[/tex]

Utvider med [tex]sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2}=2\cdot sqrt{x^2+y^2}+x+\frac{dy}{dx} \cdot y[/tex]

[tex]-(x+2\cdot sqrt{x^2+y^2})=\frac{dy}{dx}(y-3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2})[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2\cdot sqrt{x^2+y^2}}{y-3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2}[/tex]
Extruder
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 12/09-2009 18:21
Location: Palmekysten

Hvordan kommer du frem til


[tex]\frac{dy}{dx} = \(2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) \cdot \({\frac{1}{3y^2} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}\)[/tex]

fra

[tex]\frac{dy}{dx} \(3y^2 - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

?
Archj
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 26/04-2008 18:52
Location: Lier

Andreas345 wrote: Men hvis du absolutt vil se faktoriseringen...
Kan aldri få nok faktorisering vettu ;)

Jeg skjønte det hvertfall nå, så tusen takk for hjelpen alle sammen :)
...
Post Reply