Implisitt derivasjon mm.

[Archj]

Heisann!

Driver og surrer noe voldsomt med en oppgave her, så noen tips e.l hadde vært veldig fint!

Oppgaven er: Kontroller at punktet (0,1) ligger på kurven y^3 = 2x+ [symbol:rot](x^2 + y^2). Finn tangentens likning i dette punktet.

Det er mulig at jeg har gått i surr med regler som ikke har noe direkte med implisitt derivasjon å gjøre, forresten. Jeg har kommet fram til to svar, 1/[symbol:rot]2 og 2/0 (så sistnevnte er feil).

Jeg tror kanskje det er kvadratroten som forvirrer meg, men jeg er ikke sikker. Alle tips setter jeg svært stor pris på!

På forhånd takk!

[Andreas345]

Her er slik jeg ville ha løst den: (Jeg er litt usikker jeg og, men, men).

[tex]\frac{d}{dx} \ y^3=\frac{d}{dx} \ 2x+sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2=2+\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+\frac{dy}{dx} \cdot \frac {y}{sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2\cdot sqrt{x^2+y^2}}{y-3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

I punktet (0,1)

[tex]\frac {dy}{dx}=\frac {-2}{-2}=1[/tex]

[Archj]

Oi, tror jeg har gått glipp av noe likevel jeg. Du kunne ikke forklart linje 2 og 3 litt nøyere?

[Andreas345]

Jeg deriverte "kvadratroten", den en gang med hensyn på x og en gang med hensyn på y, i linje 3 tok jeg bare å løste m.h.p [tex]\frac{dy}{dx}[/tex]

Alternativt kan du se på det slik:

[tex]\frac {d}{dx}\sqrt{x^2+y^2}=\frac {1}{2\cdot sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x+2y\frac{dy}{dx})[/tex] som blir akkurat det samme.

[meCarnival]

Sett inn og er begge sider like så er det et punkt på kurven.
[tex]y^3= 2x+\sqrt{x^2+1^2}[/tex]

[tex]1^3= 2 \cdot 0+\sqrt{0^2+1^2} \Rightarrow 1 = 1 \Rightarrow[/tex] punkt på kurven...

[tex]3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}= 2+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \( 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx}\)[/tex]

[tex]3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{y \cdot \frac{dy}{dx}}{\sqrt{x^2+y^2}}= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} \(3y^2 - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = \(2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) \cdot \({\frac{1}{3y^2} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}\)[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = {\frac{2}{3y^2} - \frac{2\sqrt{x^2+y^2}}{y}+\frac{x}{3y^2\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{x}{y}[/tex]

[Andreas345]

Legg merke til at svarene våre er det samme, bare at min faktorisering var litt finere

[Archj]

Er du sikker på at dere har det samme? Jeg får nemlig ikke det samme når jeg putter inn (0,1).

Tusen takk for utledningen også, lærte en del. Jeg hadde hvertfall korrekt tankegang! Men som jeg regnet med var det noen vanlige regneregler jeg hadde totalt glemt hehe... Har forresten et tilleggsspørsmål (håper det ikke er et dumt spørsmål ): Hvorfor deriveres kvadratroten "to ganger"?

[Andreas345]

Jeg bare antok at det var det samme, siden vi hadde likt her:

[tex]\frac{dy}{dx} \(3y^2 - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

Men mitt svar skulle være det riktige, har sett over det såpass mange ganger nå

Angående deriveringen så var jo den forklart i tidligere.

[tex]\frac {d}{dx}\sqrt{x^2+y^2}=\frac {1}{2\cdot sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x+2y\frac{dy}{dx})[/tex]

Regler brukt: Kjerne regelen + at [tex]\frac{d}{du} sqrt{u}=\frac{1}{2sqrt{u}}[/tex]

[Archj]

Nå har jeg prøvd en del på egen hånd, og greier å komme fram til svaret meCarneval fikk! Men jeg forstår absolutt ikke hvordan du har faktorisert deg fram til det du fikk, Andreas?

[Andreas345]

Husk på at du trenger ikke å faktorisere alt sammen før du setter inn verdiene,

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2=2+\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+\frac{dy}{dx} \cdot \frac {y}{sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}3=2+0+\frac{dy}{dx}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}(3-1)=2 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=1[/tex]

Men hvis du absolutt vil se faktoriseringen så gjorde jeg slik:

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2=2+\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+\frac{dy}{dx} \cdot \frac {y}{sqrt{x^2+y^2}[/tex]

Utvider med [tex]sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} \ 3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2}=2\cdot sqrt{x^2+y^2}+x+\frac{dy}{dx} \cdot y[/tex]

[tex]-(x+2\cdot sqrt{x^2+y^2})=\frac{dy}{dx}(y-3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2})[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2\cdot sqrt{x^2+y^2}}{y-3y^2\cdot sqrt{x^2+y^2}[/tex]

[Extruder]

Hvordan kommer du frem til


[tex]\frac{dy}{dx} = \(2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) \cdot \({\frac{1}{3y^2} - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}\)[/tex]

fra

[tex]\frac{dy}{dx} \(3y^2 - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)= 2+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

?

[Archj]

Men hvis du absolutt vil se faktoriseringen...

Kan aldri få nok faktorisering vettu

Jeg skjønte det hvertfall nå, så tusen takk for hjelpen alle sammen