System av ODE. - løsn. passer ikke i realiteten
Posted: 15/10-2009 10:59
Jeg har følgende tre diff. likninger (se tidligere tråd):
[tex]\frac{dS}{dt}=aP[/tex]
[tex]\frac{dP}{dt}=-b(S-D)[/tex]
[tex]\frac{dD}{dt}=-cP[/tex]
Som har løsningen:
[tex]P(t)= k \sin{({\omega}t + \varphi})[/tex]
[tex]S(t)=-\frac{ak}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + S_0[/tex]
[tex]D(t)=\frac{ck}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + D_0[/tex]
hvor: [tex]{\omega}^2=b(a+c)[/tex]
Problemet er at dette gir en periodisk løsning av P(t), mens P ikke i realiteten kan være periodisk, den er nok mer eksponentiell, mens den svinger som en sinus på vei oppover, som en rett linje som svinger som en sinus.
Lar jeg D(t) være på formen
[tex]D(t)=a_1 + a_2 \cos({{a_3}t + a_4}) + a_5 \exp({{a_6}t})[/tex]
får jeg derimot en mer rett utvikling, men denne løsningen passer ikke i systemet av diff. likninger.
Så, hvordan skal jeg finne en D, S og P som løser systemet mitt og som har en eksponentiell vekst, men som i tillegg svinger på vei opp?
[tex]\frac{dS}{dt}=aP[/tex]
[tex]\frac{dP}{dt}=-b(S-D)[/tex]
[tex]\frac{dD}{dt}=-cP[/tex]
Som har løsningen:
[tex]P(t)= k \sin{({\omega}t + \varphi})[/tex]
[tex]S(t)=-\frac{ak}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + S_0[/tex]
[tex]D(t)=\frac{ck}{\omega}\cdot \cos{({\omega}t + \varphi}) + D_0[/tex]
hvor: [tex]{\omega}^2=b(a+c)[/tex]
Problemet er at dette gir en periodisk løsning av P(t), mens P ikke i realiteten kan være periodisk, den er nok mer eksponentiell, mens den svinger som en sinus på vei oppover, som en rett linje som svinger som en sinus.
Lar jeg D(t) være på formen
[tex]D(t)=a_1 + a_2 \cos({{a_3}t + a_4}) + a_5 \exp({{a_6}t})[/tex]
får jeg derimot en mer rett utvikling, men denne løsningen passer ikke i systemet av diff. likninger.
Så, hvordan skal jeg finne en D, S og P som løser systemet mitt og som har en eksponentiell vekst, men som i tillegg svinger på vei opp?