matematikk.net

Har et integral her:

[tex]\int \frac{1}{\sqrt{x - x^2}}dx[/tex]

Tenker at substitusjon er den riktige teknikken å bruke, men ser ikke helt hva jeg skal velge for u.

[tex]u = x-x^2\ \Rightarrow du = 1 - 2x dx[/tex] ser ikke bra ut... Jeg har jo ingen x-er å bytte ut.

[tex]u = \sqrt{x-x^2} \ \Rightarrow u^2 = x - x^2[/tex] Mjæ?

[tex]u = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{u} \Rightarrow dx = \frac{1}{2\sqrt{u}}du[/tex] Ser heller ikke hvordan dette skal gå.

Fullfør kvadratet og du ender opp med:

[tex]\int \frac {1}{sqrt{\frac{1}{4}-\left (x-\frac{1}{2} \right )^2}} \ dx[/tex]

[tex]\int \frac {1}{sqrt{ \left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left (x-\frac{1}{2} \right )^2}} \ dx[/tex]

Nå kan du foreta deg en substitusjon

Jeg prøvde meg på en trigonometrisk substitusjon:

[tex]\int \frac {1}{sqrt{ \left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left (x-\frac{1}{2} \right )^2}} dx [/tex]

Observerte at [tex]\frac{sinu}{2} = x - 1 \Rightarrow dx = \frac{cosu}{2}du[/tex] så..

[tex]\int \frac {1}{sqrt{ \left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left (x-\frac{1}{2} \right )^2}} \ dx = \frac{1}{4}\int\frac{cosu}{\sqrt{1-sin^2u}}du=\frac{1}{4}\int\frac{cosu}{cosu}du = \frac{1}{4}\int du = \frac{1}{4}u + C[/tex]

Og siden jeg hadde relasjonen [tex]\frac{sinu}{2} = x - 1 \Rightarrow arcsin(2x-2) = u[/tex]

Og substituerer jeg dette inn får jeg: [tex]\frac{arcsin(2x-2)}{4} + C[/tex]

Ser ikke ut som dette kan være riktig svar? Var den en trigonometrisk substitusjon du tenkte på btw?

[tex]\int \frac {1}{sqrt{ \left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left (x-\frac{1}{2} \right )^2}} dx [/tex]

[tex]u=x-\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \ du=dx[/tex]

[tex]\int \frac {1}{sqrt{ \left ( \frac{1}{2} \right )^2-u^2}} du=asin(\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C=asin(2u) + C =asin(2(x-\frac{1}{2}))+C=asin(2x-1)+C[/tex]

Ah, du fikk den til å se lett ut Trigonometrisk substitusjon hadde vel også fungert hvis jeg ikke hadde sleiva et eller annet sted, men ser ut til at u-subst var mer effektiv. Ganske smidig å omgjøre det ved å fullføre kvadratet dog. Er det et mye brukt triks?

Jeg har ikke kommet til integrasjon i dette kurset enda, men vi har lært de deriverte til de inverse trigonometriske funksjonene. Og her så jeg at det var mulig å omgjøre integralet på formen [tex]\int \frac{1}{sqrt{a^2-x^2}} \ dx [/tex].

Hvorvidt det er mye brukt merker jeg vel selv, senere ..hehe

Dere har ikke kommet dit nei? Da må jeg si du er frempå Hva var det du tenkte i denne overgangen?:

[tex]\int \frac {1}{sqrt{ \left ( \frac{1}{2} \right )^2-u^2}} du=asin(\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C[/tex]

Jeg ser jo at det stemmer etc hvis man drar ut faktoren [tex]2^2[/tex] fra roten etc, men er det noe spesielt du ser etter da du umiddelbart så at dette er den deriverte av [tex]asin(\frac{u}{\frac{1}{2}})?[/tex]

Jeg funderte siden du skrev asin av akkurat [tex] \frac{u}{\frac{1}{2}}[/tex] isteden for [tex]2u[/tex].

Tørr jeg forresten spørre om du har noen forslag til fremgangsmåte for integralet

[tex]\int \frac{x^3}{sqrt{{x^2 + 1}}}dx[/tex]

før jeg tar kvelden?

Brukte bare den generelle formelen jeg.

[tex]\int \frac {1}{sqrt{a^2-x^2}} dx=asin(\frac{x}{a})+C[/tex]

Og her var jo [tex]a=\frac{1}{2}[/tex]

Betelgeuse wrote:Tørr jeg forresten spørre om du har noen forslag til fremgangsmåte for integralet

[tex]\int \frac{x^3}{sqrt{{x^2 + 1}}}dx[/tex]

før jeg tar kvelden?

Tips:

Sett [tex]u=x^2[/tex]

Ah.. har aldri lagt merke til den formen, men nå kan jeg den. Har bare vært borti

[tex]\frac{d}{dx}arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

Da antar jeg at tilsvarende gjelder for arctan og arccos

Faktisk så er:

[tex]\int \frac{1}{a^2+x^2} \ dx=\frac{1}{a}\cdot atan(\frac{x}{a})+C[/tex]

Jeg takker! God natt

Glemte + 1 i tipset mitt!

[tex]u=x^2+1 \Leftrightarrow x^2=u-1 [/tex]