matematikk.net

sin z = 100 (kompleks funksjon)

trenger hjelp her =)

det jeg har prøvd:
bruke sammenhengen sin z = 1/2i (e^iz - e^-iz) til å sette opp andregradslikningen e^2iz - 200i e^iz - 1 = 0

Når jeg løste fikk jeg e^iz [symbol:tilnaermet] 200i og 0.
Er jeg på riktig spor? Hvordan skal jeg isåfall tolke svarene 0 og 200i for videre løsning med tanke på realdel og imaginærdel? Jeg gjetter at imaginærdel da består av (ln 200)i men hva med realdel?

[tex]2i\sin z =e^{zi}-e^{-zi}=200i[/tex]

Her setter vi [tex]z=a+ib[/tex] slik at uttrykket omformes til


[tex]e^{(a+ib)i}-e^{-(a+ib)i}=200i[/tex]

[tex]e^{-b}e^{ai}-e^be^{-ai}=200i[/tex]

[tex]e^{-b}(\cos(a) + \sin(a)i)-e^b(\cos(a)-\sin(a)i)=200i[/tex]

[tex](e^{-b}-e^{b})\cos(a)+(e^{-b}+e^{b})\sin(a)i=200i[/tex]

Sammenlign realdel og imaginærdel.

Edit. skrivefeil retta opp

Takk for svar.
Tror jeg skjønte litt mer nå.
stemmer det at jeg får
cos a = 0
og e^b = 200

z = [symbol:pi] /2 [symbol:plussminus] (ln 200)i [symbol:plussminus] 2k [symbol:pi] ?
( [symbol:pi] var et forsøk på å få frem pi)

Hm,


Hvis [tex]e^{b}=e^{-b}[/tex] er [tex]b=0[/tex] og da er

[tex]\sin(a)=100[/tex] som er umulig siden a er reell.

Eneste mulighet er at

[tex]\cos(a)=0[/tex] som gir at [tex]a=\frac{\pi}{2}+\pi n[/tex] for heltallige n.


Da er [tex]\sin(a)=(-1)^{n}[/tex] så [tex](e^{-b}+e^b)(-1)^n=200[/tex].


Siden eksponensialfunksjonen er positiv for alle verdier må n være partallig, så løsningene begrenser seg til [tex]a=\frac{\pi}{2}+2\pi n[/tex] for heltallige n.

Da er [tex]e^{-b}+e^b=200[/tex]

Her kan definisjonen på hyperbolsk cosinus brukes..


Som gir at [tex]b=arccosh(100)[/tex], to ulike verdier,


så svaret ditt skulle stemme, ja.

ok takk for svar !