matematikk.net

Har et integral her som jeg forsåvidt har løst, men jeg lurer på om det er en enklere metode enn den jeg brukte.. Integralet er som følger:

[tex]\int_{0}^1\frac{2x^3 + 2x +1}{(x^2 +1)^2}dx[/tex]

Jeg brøt det opp i 2 integraler:

[tex]\int_{0}^1\frac{2x}{x^2+1}dx + \int_{0}^1\frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/tex]

Hvor det første integralet er lett løselig ved en u-subst, mens det andre ikke er fullt så lett. Eneste måte jeg vet å løse dette på er ved en rekusjonsformel:

[tex]\int\frac{du}{(1+u^2)^m} = \frac{1}{2(m-1)}\frac{u}{(1+u^2)^{m-1}}+\frac{2m-3}{2(m-1)}\int\frac{du}{(1+u^2)^{m-1}}[/tex]

Denne formelen er forsåvidt grei og jeg kommer i mål, men den er håpløs å huske så jeg lurte på om noen vet om en annen vei jeg kunne gått for å løse dette integralet?

Prøv x=tan(u).

Ah! Det var en smart substitudsjon!

Du gjenkjente at [tex]tan^2u +1 = \frac{1}{cos^2u}[/tex] som gjør at alt vi trenger å integrere er [tex]cos^2u[/tex], right?

"Ja". Eller: tankegangen var slik:

1. "Hm. Kanskje noe trigonometrisk kan hjelpe oss."
2. Så måtte jeg tenke gjennom de formlene jeg kunne og se om noen av dem lignet på uttrykket. Det gjorde [tex]\frac{d}{dx} \tan x=1+\tan x[/tex]. Og da falt alt på plass.

(jeg "jukset" litt ved å titte mye på http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... identities )