matematikk.net

Jeg sitter og funderer på noe som jeg synes er litt mystisk og som forhindrer meg i å få logikken på plass i min tolkning av grensesammenlikninger ved uegenltige integraler..

Det er jo opplakt at:
[tex]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0[/tex]

Hvis man ser for seg grafen vil da denne smyge seg inntil og komme nærmere og nærmere x-aksen helt til grensen.

Men så har vi resultatet

[tex]\int_1^{\infty}\frac{1}{x}dx = \infty[/tex]

Dette synes jeg er paradoksalt i og med at grensen til selve funksjonen er 0 og da burde jo også arealet ha en grense. Er dette rett og slett en matematisk sannhet som er vanskelig å forklare siden vi ikke kan forstå det uendelige eller er det noen som har en logisk forklaring?

Det er forskjell på "common sense" og matematikk. Man ganger er det som synes logisk ikke riktig i det hele tatt. F.eks. vil

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex] divergere mens

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/tex]

vil konvergere.


Man kan bevise litt mer formelt at

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/tex] for heltall n:

Siden [tex]\frac{1}{n}[/tex] er en monotont synkende følge nedad begrenset, vil den konvergere av det monotone konvergensteoremet. Da vil delfølgen [tex]\frac{1}{2n}[/tex] også konvergere mot samme element. Da må

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}=0[/tex] så

[tex]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/tex] så [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/tex]


Dette er et standard bevis som du finner i f.eks. Körner osv, fritt gjengitt etter hukommelsen. Vi har brukt monotont kovergensteorem, at alle delfølger av en konvergent følge er konvergent og går mot samme grense, og "regnereglene" for grenser. Ingen tvilsom intuisjon altså, selv om resultatet i seg selv er "logisk".

Behandling av uendelig i matematikken må helt klart gjøres forsiktig ja.

plutarco wrote:Det er forskjell på "common sense" og matematikk. Man ganger er det som synes logisk ikke riktig i det hele tatt.

Yes, har begynnt å skjønne det.. Men det er vel også noe av det som gjør matematikk så spennende!
Körner?..

Enda mer paradoksalt blir det når det viser seg at volumet når du dreier akkurat den samme funksjonen rundt x-aksen er endelig

Betelgeuse wrote:Enda mer paradoksalt blir det når det viser seg at volumet når du dreier akkurat den samme funksjonen rundt x-aksen er endelig

Husker jeg gjorde en slik oppgave i vår. Det er virkelig fascinerende. Men volumet? Mener å huske vi regnet ut overflatearealet også.

Dette er et standard bevis som du finner...

Veldig fint! Leste veldig nøye om delfølger osv i fjor, men så aldri helt den store nytten med dem. Dette viste virkelig hvor kraftige de er.

FredrikM wrote:Husker jeg gjorde en slik oppgave i vår. Det er virkelig fascinerende. Men volumet? Mener å huske vi regnet ut overflatearealet også.

Mhm! Når man regner ut volumet ved å dreie rundt x-aksen blir jo f(x) radien i skivene man summerer opp.

[tex]\int_{1}^{\infty}2\pi(\frac{1}{x})^2dx[/tex] (luuuringen konvergerer joooo)

Går ut ifra at vi skal regne ut overflatearealet I mat1110 .. Ser forresten at du har hatt mat2500.. Euklidsk geometri, right? Hvordan er det kurset? Hadde vært kult å få orden på geometrien.

Betelgeuse wrote:Dette synes jeg er paradoksalt i og med at grensen til selve funksjonen er 0 og da burde jo også arealet ha en grense. Er dette rett og slett en matematisk sannhet som er vanskelig å forklare siden vi ikke kan forstå det uendelige eller er det noen som har en logisk forklaring?

Alt som har blitt sagt så langt er selvfølgelig riktig, men det finnes en rimelig intuitiv forklaring på hvorfor summen av [tex] \frac 1 n[/tex] når [tex]n[/tex] går mot uendelig divergerer. Tenk på summen av det tredje og det fjerde leddet, dvs [tex]\frac 1 3 + \frac 1 4[/tex]. Den er opplagt større enn [tex]\frac 1 4 + \frac 1 4 = \frac 1 2[/tex]. Tilsvarende er summen av de fire neste elementene, [tex]\frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 7 + \frac 1 8>\frac 1 8 + \frac 1 8 + \frac 1 8 + \frac 1 8 = \frac 1 2[/tex], og så videre - du kan kort sagt gruppere elementene i uendelig mange grupper slik at summen av hver gruppe er større enn [tex]\frac 1 2[/tex], og da er det logisk at rekka divergerer. Riktignok var det integralet og ikke summen du spurte om, men forhåpentligvis gjorde det ting litt mindre ulogiske.

Ser forresten at du har hatt mat2500..

Tar faget nå. En del Euklidsk geometri, men nå skal vi begynne på projektiv geometri. Der møtes parallelle linjer. Så langt har vi hatt om "skolegeometri" (trekanter, sirkler, og teoremer om disse), koordinatgeometri (kryssprodukt, prikkprodukt, linjer og plan), og platonske legemer. Og en god del om transformasjoner av planet (deriblant Möbius-transformasjoner) Artig fag - ganske annerledes - og ganske utfordrende.

Karl_Erik wrote:...men forhåpentligvis gjorde det ting litt mindre ulogiske.

Det gjorde faktisk det! Ga litt logikk til rekkene i hvertfall. Takk for et fint argument

Høres spennende ut, FredrikM! Har virkelig lyst til å lære meg klassisk, gresk geometri Tørr jeg spørre hvilket matematikkfag som du synes har vært mest spennende til nå?

Kompleks analyse (MAT2300) er kanskje det faget jeg har syntes har vært morsomst så langt. Veldig spennende med komplekse tall, og hvordan disse kan gi veldig spennende integraler. Også er det veldig visuelt, og det liker jeg. Da blir matematikk mye mer intuitivt. Geometri er også ganske givende - boken er dessverre elendig, så jeg titter i tillegslitteratur med jevne mellomrom. Mesteparten av læreboken ligger på Google Books.

Jeg anbefaler MAT4510 Geometriske strukturer. Pensumet kan dessuten lastes ned gratis fra hjemmesida til faget.