matematikk.net

Heisann, lurer litt på en omregning her, jeg vet det blir riktig men jeg lurer på hvordan man skal se det når man får det i en oppgave.

[tex]\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}[/tex]


fordi jeg ser hvordan man går andre veien fra

[tex]\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/tex]

Men jeg klarer ikke se hvordan jeg bare kan "få" den telleren når jeg går andre veien, det må vel være en matematisk måte å gjøre dette.

Metoden kalles delbrøkoppspalting.

[tex]\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}[/tex]

Utvider hele likningen med [tex](n+1)(n+2)[/tex]

[tex]1=A(n+2)+B(n+1)[/tex]

Observerer at når:

[tex]n=-1 \ \ :\ \ 1=A(-1+2)+B(-1+1) \Rightarrow A=1 [/tex]

[tex]n=-2 \ :\ \ 1=A(-2+2)+B(-2+1) \Rightarrow B=-1 [/tex]

Følgelig er:[tex]\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}[/tex]