matematikk.net

Hei folkens.

Det har akkurat slått meg at det er stor forskjell på å ha 3mx i en klasse med tre elever på vgs, og å ha kalkulus sammen med hundreogørten studenter på universitetet. Oppfølgingen er lagt nesten helt bort, og nå har jeg ingen mattelærer som jeg kan snakke med hver dag og diskutere problemer med. Sååå.. Jeg har samlet noen oppgaver som jeg ikke får til på kapitlet om omvendte funksjoner og om integrasjon.

Jeg kan ikke håpe at alle kan bli forklart til fulle her på dette forumet, men jeg håper at jeg kan få et dytt i riktig retning på noen av oppgavene jeg sliter med. (oppgavene kommer fra Lindstrøms kalkulus)

1. Grenseverdien [tex]\lim_{x \to \infty} (cot (1/x) - x)[/tex]
Dette er en [symbol:uendelig] - [symbol:uendelig] som burde (?) omformes til [symbol:uendelig] / [symbol:uendelig] eller 0/0 og l'Hópital-es til noe fornuftig, men jeg får bare uttrykk som er stygge og ikke har løsning..

2. Grenseverdien [tex]\lim_{x \to 1^-} \frac{arcsin x - \pi/2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

3. Grenseverdien [tex]\lim_{x \to 0} (1/x - 1/(arctan x))[/tex]

3. a) Vis at ligningen [tex]\frac{1+x}{1+x^2} = 2 arctan x[/tex] har en eneste reell løsning x=x_0 og at [tex]1/3\sqrt 3 < x_0 < 1[/tex]. Dette går greit, men i b) sliter jeg.
b) La [tex]f(x) = \frac{arctan x}{(1+x)^2}[/tex]. Angi intervallene hvor f er strengt voksende og strengt avtagende. Tallet x_0 kan brukes i svaret.

4. [tex]\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} dx[/tex] Fornuften sier at arcsin er involvert, men da ser jeg ikke hvorledes 9-tallet kommer inn..

5. [tex]\int_{-\pi/4}^{\pi/4} tan x dx[/tex]

6. En eksamensoppgave fra UiO:

Alt vi vet om funksjonen f:(0, [symbol:uendelig]) -> R er:

f(xy) = f(x) + f(y) for alle x,y i (0, [symbol:uendelig] ) og
f er deriverbar i x=1 med f'(1) = k

vis at f(1) = 0



Jeg er takknemmelig for all hjelp som måtte komme!

4)
er vel deg fra realisten.com

jeg begynte å løse integralet uten rottegn, men så redigerte du---og da blei det lettere. her er det ubestemte integralet.

vel, sett u = x/3
dx = 3du

[tex]I=\int \frac{3\,du}{\sqrt{9-9u^2}}=\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\arcsin(u)+C=\arcsin({x\over 3})+C[/tex]

5)

det ubestemte integralet her er:

[tex]I=\int \tan(x)\,dx=\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx[/tex]

sett u = cos(x)
du = -sin(x)

[tex]I=-\int \frac{du}{u}=-\ln(u)+C[/tex]

6)

Setter vi inn x=y=1 får vi f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1) så da må f(1)=0.

2)

L'Hopital gir

[tex]\lim_{x\to 1}-\frac{\sqrt{1-x^2}*x}{\sqrt{1-x^2}}=-1[/tex]