matematikk.net

En rekke er gitt ved at [tex]a_1=2[/tex] og [tex]a_{n+1}=a_n+n+2[/tex]
Bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er [tex]a_n=\frac{n(n+3)}2[/tex]

Det jeg sliter med er å finne ut hva jeg skal sette lik [tex]\frac{n(n+3)}2[/tex]
De 5 første leddene er 2, 5, 9, 14, 20 og jeg skjønner ikke hvordan det kan være hverken geometrisk eller aritmetisk rekke så hvordan finne en fomel jeg kan bruke?

Håper noen kan hjelpe

Antar [tex]a_k = \frac{k(k+3)}{2}[/tex]

[tex] a_{k+1} = a_k + k + 2 = \frac{k(k+3)}{2} + k + 2 [/tex]

Dette skal helst bli likt som dette:

[tex] a_{k+1} = \frac{(k+1)[(k+1)+3]}{2}[/tex]

Hvor får du den siste formelen ifra?

Jeg bruker formelen din,

[tex] a_n=\frac{n(n+3)}{2}[/tex]

Men nå er det [tex]a_{k+1}[/tex] vi skal finne, derfor setter jeg inn [tex]k+1[/tex] for [tex]n[/tex].

thmo wrote:En rekke er gitt ved at [tex]a_1=2[/tex] og [tex]a_{n+1}=a_n+n+2[/tex]
Bruk induksjon til å bevise at det generelle leddet er [tex]a_n=\frac{n(n+3)}2[/tex]

Det jeg sliter med er å finne ut hva jeg skal sette lik [tex]\frac{n(n+3)}2[/tex]
De 5 første leddene er 2, 5, 9, 14, 20 og jeg skjønner ikke hvordan det kan være hverken geometrisk eller aritmetisk rekke så hvordan finne en fomel jeg kan bruke?

Håper noen kan hjelpe

Du vet at:
[tex]a_{n+1}= a_n+n+2[/tex]

du skal bevise at[tex] a_n=\frac{n(n+3)}{2}[/tex]

så

erstatter VS med din viden om [tex]a_n[/tex]
[tex]a_{n+1}[/tex]

[tex]\frac{(n+1)((n+1)+3)}{2}[/tex]

[tex]\frac{(n+1)(n+4)}{2}[/tex]

[tex]\frac{n^2+5n+4}{2}[/tex]


så tar du HS

[tex]a_n+n+2[/tex]

og gjør det samme

[tex] \frac{n(n+3)}{2} + n+2[/tex]

[tex]\frac{n^2 +3n}{2} +\frac{2n+4}{2}[/tex]

[tex]\frac{n^2+5n+4}{2}[/tex]

Da VS = HS er har du bevist at :[tex]a_n= \frac{n(n+3)}{2}[/tex]

Litt usikker på om dette er tilstrekkeligt for ett induskjonsbevis, for de bevis jeg ellers har gjort har været mere stringente i fremførslen.

1. sette a=1, teste at det gir VS=HS

anta at n=t
teste for n= t+1
ved at igjen VS=HS

men føler liksom at vi hopper litt midt inn i denne oppgave!!
Er der evt. noen der har meninger om det?

Håper dette hjalp
ha en god aften MEPE

Ah, no skjønner jeg mer, takk skal du ha mepe

Jeg skal vel vise at [tex]\frac{(n+1)((n+1)+3)}{2}=\frac{n(n+3)}{2}+n+2[/tex] er riktig for alle n.

Ser at det er riktig for n=1

Da blir vel neste steg å anta at det er gyldig for n=k og må da vise at det også er gyldig for n=k+1? Er ikke helt sikker her

Noen som kan bekrefte/avkrefte det?

Anta at

[tex]a_k=\frac{k(k+3)}{2}[/tex] for en bestemt k.

Da er

[tex]a_{k+1}=a_k+k+2[/tex]


Vis at høyresida kan skrives

[tex]\frac{(k+1)(k+4)}{2}[/tex]

Det er det hele du trenger å gjøre i induksjonstrinnet.

Så jeg skal bare vise at [tex]\frac{(k+1)(k+4)}{2}=\frac{k(k+3)}{2}+k+2[/tex]

De er jo lik så da er jeg ferdig da. Takk for hjelpen!