Integral maraton !

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 11/07-2018 17:38

Markus skrev:Noen som har prøvd å løse det siste integralet uten residyregning? Jeg kommer ikke så langt med det etter å ha prøvd litt div. reelle teknikker.



Kommer ikke spesielt langt heller, ikke engang ved hjelp av spesielle funksjoner, det er et mareritt uten kompleks analyse.
Kay online
Descartes
Descartes
Innlegg: 403
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral maraton !

Innlegg Janhaa » 12/07-2018 15:19

Kay skrev:
Markus skrev:Noen som har prøvd å løse det siste integralet uten residyregning? Jeg kommer ikke så langt med det etter å ha prøvd litt div. reelle teknikker.

Kommer ikke spesielt langt heller, ikke engang ved hjelp av spesielle funksjoner, det er et mareritt uten kompleks analyse.

Er på bobil-ferie og i ferie -modus.
Dette er tankene:
men aldeles ikke løst d uten complex analysis.
Først kan x+2 => x slik at 3 integral poppes ut:

[tex]I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{(x+2)^2+1}dx=I_1+I_2+I_3[/tex]
der
[tex]I_1=2\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+1}dx\\ \\ I_2=\cos(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{x^2+1}dx\\ \\ I_3=\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cos(x)}{x^2+1}dx+ 2\cos(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x^2+1}dx\\[/tex]

der I3 = 0, kan forstås via x => -x

I1 kan skrives:

[tex]I_1(a)=2\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{x^2+1}dx\\ \\[/tex]

og løses ved Feynmann method mhp a.

For I2 kan vi gjøre det sammen, skrive dette som DE (diff lik.)

[tex]I(b)=2\sin(2)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(ax)e^{bx}}{x^2+1}dx\\ \\[/tex]

finne I'(b) og I''(b) og bygge opp en DE. Det vi kan dra ut verdien fra ønska integral...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7524
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Integral maraton !

Innlegg Markus » 17/07-2018 14:55

Tror nok det der skal gå frem Janhaa - smart å splitte det via $\sin(u-v)$-formelen. Får se litt mer på den når jeg kommer hjem selv fra ferie. Er nok dog ment som et integral som skal løses med residy-regning, vil jeg tro.

Inntil videre, må vi vel ha et nytt integral, som for øvrig er en del av det løsningsforslaget du foreslår Janhaa. Et av de peneste integralene etter min mening; $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} \, \text{d}x$$
Markus offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 485
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 17/07-2018 15:25

Markus skrev:Tror nok det der skal gå frem Janhaa - smart å splitte det via $\sin(u-v)$-formelen. Får se litt mer på den når jeg kommer hjem selv fra ferie. Er nok dog ment som et integral som skal løses med residy-regning, vil jeg tro.

Inntil videre, må vi vel ha et nytt integral, som for øvrig er en del av det løsningsforslaget du foreslår Janhaa. Et av de peneste integralene etter min mening; $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2+1} \, \text{d}x$$


Observer at funksjonen kun har en enkel singularitet ved [tex]x=i[/tex]

[tex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+1}dx=\Re\left ( \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+1} \right )=\Re\left ( \int_\gamma \frac{e^{ix}}{x^2+1^2} \right )=\Re\left ( 2\pi i Res\left ( \frac{e^{ix}}{x^2+1},i \right )\ \right )=\Re\left ( 2\pi i \lim_{x\rightarrow i}\frac{e^{ix}}{x^2+i} \right )=\frac{\pi}{e}[/tex]


Oppfølger:

[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx[/tex]

(Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift).

Edit: Mangla en x i oppfølgeren.
Kay online
Descartes
Descartes
Innlegg: 403
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral maraton !

Innlegg stensrud » 17/07-2018 17:06

Kay skrev:Kunne noen forresten har forklart meg hvordan jeg får dx med en sånn rett d? Når jeg bruker \textup så får jeg bare sånn rød errorskrift.

Nå er jeg ingen TeX-guru, men det finnes et par måter å få det til på: \rm{d} eller \mathrm{d} funker ihvertfall. Forresten så har de fleste artiklene jeg har lest brukt $d$ og ikke $\rm{d}$ (Terrence Tao for eksempel, som må være et skikkelig autoritetsargument?), så det er vel ikke så nøye - jeg mistenker at det er noe fysikerne og ingeniørene bryr seg mer om. Det viktigste er nok spacingen, og her er jeg heller ingen ekspert, men \mathop{dx} (eventuelt \mathop{\rm{d}x}) skaper litt pusterom.

Du kan også trykke på knappen for å sitere andres innlegg for å se hvordan de har skrevet TeX-koden.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 423
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Integral maraton !

Innlegg Markus » 17/07-2018 17:54

Pent Kay! Kan også løses med derivasjon under integraltegnet eller Laplace, men din metode eller Laplace er nok den mest effektive. Angående differensialnotasjon bruker jeg selv \, \text{d}x. \, skaper et lite mellomrom. Men har også sett en del bruk av \mathrm. Men, kursiv eller ikke-kursiv, ingen av alternativene er vel mer korrekt enn den andre?
Markus offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 485
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: Integral maraton !

Innlegg Mattegjest » 05/08-2018 12:02

Dei fleste brukarane av dette forumet har no lagt bak seg sommarferien , og då kan det passe med litt " hjernejogg " for å

lette overgangen til kvadagen.

Dagens " tema " dreiar seg om trippelintegral ( SSS indikerer eit integral med tre variable ).


Oppgave: Berekn integralet SSS( x * y * z ) dxdydz over kroppen K = pyramide med toppunkt T(0 , 0 , 1 ) og grunnflate

{ (x , y , 0 ) : 0 <= x <= 1 og 0 <= y <= 1 }
Mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg Nebuchadnezzar » 24/08-2018 11:26

Er det noe jeg mangler eller er det siste integralet så enkelt som

$ \hspace{1cm} \displaystyle
V
= \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} xyz \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{6!}
$

? Mellomregningene er bare kjedelig utvidelse av polynomer... Om regningen ovenfor er riktig så slenger jeg på en litt morsom en, håper ingen har sett den før

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\lim_{\theta\to\pi/2}\int_{-\theta}^\theta\lfloor\tan x\rfloor\> \,\mathrm{d}x
$
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5460
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Integral maraton !

Innlegg Mattegjest » 24/08-2018 17:53

[tex]\int \int \int[/tex]( x y z ) dxdydz over K = [tex]\frac{1}{120}[/tex]
Mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg Mattegjest » 24/08-2018 17:53

[tex]\int \int \int[/tex]( x y z ) dxdydz over K = [tex]\frac{1}{120}[/tex]
Mattegjest offline

Re: Integral maraton !

Innlegg MatIsa » 24/08-2018 19:55

Nebuchadnezzar skrev:Er det noe jeg mangler eller er det siste integralet så enkelt som

$ \hspace{1cm} \displaystyle
V
= \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} xyz \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{6!}
$
Løste den på samme måte selv, men tror det blir feil. Her er vel integrasjonsområdet en pyramide med en trekantet grunnflate ($\{(x, y, 0): 0\leq x\leq 1\text{ og } 0\leq y\leq 1-x\}$) istedenfor en kvadratisk grunnflate?

Kay skrev:Oppfølger:

[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx[/tex]
Tar gjerne et hint på denne, har prøvd mer eller mindre alt :?
MatIsa offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 149
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 24/08-2018 20:58

MatIsa skrev:
Kay skrev:Oppfølger:

[tex]\int_0^\infty \frac{\arctan (x)\log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx[/tex]
Tar gjerne et hint på denne, har prøvd mer eller mindre alt :?



Hint:

[+] Skjult tekst
derivasjon under integraltegnet
Kay online
Descartes
Descartes
Innlegg: 403
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Integral maraton !

Innlegg Markus » 16/09-2018 23:39

Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1} \, \text{d}x$
Markus offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 485
Registrert: 20/09-2016 12:48

Re: Integral maraton !

Innlegg Aleks855 » 16/09-2018 23:53

Markus skrev:Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1} \, \text{d}x$


Kun elementære løsninger for min del. I tillegg fint med litt oppfrisking.

Lar vi $u = e^x$ og medfølgende $\mathrm dx = \frac1u \mathrm du$ får vi $$\int \frac1{u(u+1)} \mathrm du \overbrace =^{\text{delbrøkoppspalting}} \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} \mathrm du = \int \frac{1}{u} \mathrm du - \int \frac{1}{u+1} \mathrm du = \log(u) - \log(u+1) + C = \log \left( \frac{e^x}{e^x+1} \right) + C$$

Oppfølger: $\int \sec x \mathrm dx$ hvis den ikke allerede har blitt løst. Er litt fan av den siden den også kan løses med grunnleggende integrasjon og litt kreativitet.
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 5382
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Integral maraton !

Innlegg Kay » 17/09-2018 00:25

Aleks855 skrev:
Markus skrev:Siden denne tråden mer eller mindre døde helt ut etter det forrige integral kjører jeg på med en litt lettere for å få liv i tråden igjen. Evaluer $\int \frac{1}{e^x+1} \, \text{d}x$


Kun elementære løsninger for min del. I tillegg fint med litt oppfrisking.

Lar vi $u = e^x$ og medfølgende $\mathrm dx = \frac1u \mathrm du$ får vi $$\int \frac1{u(u+1)} \mathrm du \overbrace =^{\text{delbrøkoppspalting}} \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1} \mathrm du = \int \frac{1}{u} \mathrm du - \int \frac{1}{u+1} \mathrm du = \log(u) - \log(u+1) + C = \log \left( \frac{e^x}{e^x+1} \right) + C$$

Oppfølger: $\int \sec x \mathrm dx$ hvis den ikke allerede har blitt løst. Er litt fan av den siden den også kan løses med grunnleggende integrasjon og litt kreativitet.



I og med at du ønsker løsning vha. grunnleggende integrasjon (regner alt innen R2 pensum som grunnleggende):

[tex]\int \sec(x)dx=\int\frac{1}{\cos(x)}dx=\int \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}dx= \int\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}dx=\int\frac{\cos(x)}{(1+\sin(x))(1-\sin(x))}dx[/tex]

La [tex]u=\sin(x)\Rightarrow \frac{du}{dx}=\cos(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx[/tex]

[tex]\int sec(x)dx=\int_{sub} \frac{du}{(1+u)(1-u)}=\frac{1}{2}\int \left (\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u} \right )du=\frac{1}{2}(\ln|1+u|-\ln|1+u|)=\frac{1}{2}\ln \frac{|1+u|}{|1-u|}=\frac{1}{2}\ln\frac{|1+\sin(x)|}{|1-\sin(x)|}+C[/tex]

Oppfølger: [tex]\int \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}}dx[/tex]
Kay online
Descartes
Descartes
Innlegg: 403
Registrert: 13/06-2016 18:23

ForrigeNeste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 10 gjester