matematikk.net

Jeg har fått noen problemer med noen integraler, og om noen kan gi meg et puff bak på noen av oppgavene så hadde jeg blitt svært takknemlig

1.
Finn buelengden til funksjonsgrafen [tex]y\, = \,\frac{x^2}{2}-\frac{1}{4} ln \,x[/tex] fra x = 1 til x = e.

Jeg har formelen [tex]L\, =\, \int_1^e \sqrt{1-f'(x)^2}\,dx[/tex], men det uttrykket jeg får når jeg deriverer og kvadererer y = f(x) kan jeg ikke løse.


2.
Drei rundt y-aksen: [tex]y = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}[/tex]

Her bruker jeg formelen [tex]V = 2\pi \int x\cdot y \,dx[/tex] og substituerer u = x/3, men da ender jeg opp med [tex]\int \frac{x}{+sqrt{1-u^2}}\,du[/tex] og da får en ikke noe arcsin..

3.
La [tex]I_n = \int (ln x)^n \, dx[/tex]. Vis at [tex]I_n = x (ln x)^n - nI_{n-1}.[/tex]

(Noe av) det jeg prøvde var å delvis integrere med u = ln x og v' = (ln x)[sup]n-1[/sup], men dette og alt annet gled ut i sidelange avhandliger om livet og sånt Hva er trikset for å vise dette?

4.
Løs integralet [tex]\int_0^2 \sqrt{4 - x^2}[/tex] ved å sette x = 2sin u.

Her får jeg forskjellige svar hver gang, og feile sådan...

yngevege wrote: 3.
La [tex]I_n = \int (ln x)^n \, dx[/tex]. Vis at [tex]I_n = x (ln x)^n - nI_{n-1}.[/tex]

(Noe av) det jeg prøvde var å delvis integrere med u = ln x og v' = (ln x)[sup]n-1[/sup], men dette og alt annet gled ut i sidelange avhandliger om livet og sånt Hva er trikset for å vise dette?

[tex]dv = 1\quad v = x, \quad u = (ln(x))^n \quad du = n(ln(x))^{n-1}\cdot \frac{1}{x}[/tex]

Bruk så delvis integrasjon, og du skal få riktig svar.

yngevege wrote:4.
Løs integralet [tex]\int_0^2 \sqrt{4 - x^2}[/tex] ved å sette x = 2sin u.

Her får jeg forskjellige svar hver gang, og feile sådan...

[tex]x = 2\sin(u) \quad dx = 2cos(u)du[/tex]

[tex]4-x^2 = 4-(2\sin(u))^2 = 4(1-\sin(u)^2) = 4*\cos(u)^2[/tex]

[tex]4\int_0^{\pi/2} \cos^2(u)du = \pi[/tex]

Du har vel brukt feil formel på 2).

Hvis du har gitt y=y(x) og skal dreie om y-aksen må du finne den inverse funksjonen x=x(y) og bruke formelen

[tex]V=\int_a^b \pi x^2\,dy[/tex]

Med [tex]y=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}[/tex] får vi

[tex]y^2=\frac{1}{9-x^2}[/tex] og [tex]x^2=9-\frac{1}{y^2}[/tex], så volumet er gitt ved

[tex]\int_a^b\pi (9-\frac{1}{y^2})\,dy[/tex]

Når det gjelder 1), så er det kun et spørsmål om å kjenne igjen kvadrater.

Du skal regne ut [tex]1+[f^,(x)]^2[/tex]. Og [tex]f(x)=\frac{x^2}{2}-\frac 14 \ln x[/tex]. Deriver denne og kvadrer: [tex](x-\frac{1}{4x})^2=x^2-\frac 12 + \frac{1}{16x^2}[/tex]. Hva skjer når du plusser til én?

Tusen takk alle sammen! Nu går alt så meget bedre

Hei
Er klar over at dette er en veldig gammel tråd, men sitter og jobber med en oppgave som er maken til 1). Jeg klarer ikke å integrere uttrykket etter jeg har lagt til 1.

Noen om kan hjelpe?

På forhånd takk!

Er nok bedre å starte en ny trad gitt =)