matematikk.net

Tidligere når jeg løste diff likninger, og når jeg har brukt substitusjon ved derivering, så har det vært "behagelig" å behandle dy/dx som en brøk. Inntill for en stund siden så trodde jeg det også var en brøk og fullt tillatt, inntil jeg så i en post her at det ikke var tilfellet.

Så i det siste har jeg prøvd å finne ut av hvorfor det tilfeldigvis er slik at dette i praksis kan gjøres i en del tilfeller. Til slutt så fant jeg ut at det man egentlig gjør er

[tex]\int f(y) \frac{dy}{dx} dx = \int f(y) dy[/tex]

Men her kan man jo ikke bare stryke dx mot dx siden det ikke er en brøk, så hva er det som skjer akkuratt der? Jeg har lest litt på wikipedia, men svaret der er ganske mangelfult, eller så missforstår jeg noe.

Er det noen som har en grei forklaring?

Du kan ikke behandle [tex]\frac{dy}{dx}[/tex] som en brøk generelt, nei. Da vil du lett få helt absurde konklusjoner.

Differensialet [tex]df_p [/tex]er vel egentlig definert som den beste lineærapproksimasjonen til en funksjon f i nærheten av et punkt p på en mangfoldighet, og vil vel sammenfalle med stigningstallet [tex]\frac{dy}{dx}[/tex] hvis jeg ikke tar feil.

Men man kan vel kanskje si at en tommelfingerregel er at dersom manipulasjoner med differensialene gir en løsning (f.eks. på diff.ligninger), som du kan bevise at er en riktig løsning ved innsetting, så vil jo metoden fungere (åpenbart). Men for beviser må man gå dypere og benytte de formelle definisjonene av deriverte etc. Dvs. du kan ikke bruke Leibniz' notasjonen som formelt bevis.

Ok. Den var litt oppklarende, men jeg må fremdeles tygge litt på den.

Takker for forklaringen. Spesielt det siste avsnittet. Det er jo innlysende, men fort gjort å glemme