Funksjon, integral og derivert
Posted: 07/11-2009 14:57
NB: Jeg sliter litt med tex og bruker [tex]f^n(x)[/tex] til å bety den n-te deriverte av f. vet ikke hva som er vanlig. I tillegg bruker jeg [tex]\equiv[/tex] til å bety <=>, selv om det ser mer ut som kongruenstegnet for meg.
--------
En funksjon [tex]f^2(x) = ax + b[/tex]
a) Grafen til f har et vendepunkt i (1,0). Finn b uttrykt ved a.
Denne er grei, i vendepunkter så er den andrederiverte 0. Det gir [tex]f^2(1) = 0 \equiv 1a + b = 0 \equiv b = -a[/tex]
b) Grafen til f har et stasjonært punkt i x = 0. Vis at f også har et stasjonært punkt for x = 2.
I stasjonære punkter så er den deriverte 0. Det betyr at integralet til [tex]f^2(x)[/tex] skal være null.
[tex]f^1(x) = \int \! (ax + b) \, dx = \frac{1}{2} * ax^2 + bx + c[/tex]
og
[tex]f^1(0) = 0 \equiv \frac{1}{2} * a*0^2 + b*0 + c = 0 \equiv c = 0[/tex]
mao
[tex]f^1(x) = \frac{1}{2} * ax^2 + bx [/tex]
men når jeg skal vise at den har et stasjonært punkt for x = 2 så begynner jeg å rote tror jeg.
[tex]f^1(2) = 0 \equiv \frac{1}{2} * 4a + 2b = 0 \equiv 2a + 2b = 0[/tex]
b = -a, så det blir
[tex] 2a - 2a = 0 \equiv 0 = 0[/tex]
stemmer dette? når jeg får 0 = 0 så pleier det å bety at jeg har gjort noe veldig galt, men jeg ser ikke noen annen måte å vise at f^1(2) = 0.
c) Stigningstallet til vendetangenten er 3. Finn a og vis at [tex]f^1(x) = -3x^2 +6x[/tex]
Denne synes jeg var veldig forvirrende. Tangenten er gitt ved [tex]y = ax + b[/tex] og når x = 1 så er y = 0.
[tex]0 = 3*1 + b \equiv b = -3[/tex]
så tangenten blir [tex]y = 3x - 3[/tex]
men hvordan kan jeg bruke dette i [tex]f^1(x)[/tex] og finne a?
d) Finn funksjonsutrykket til f
ubestemt blir dette [tex] f(x) = -x^3+3x^2 + c [/tex] men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal fastsette c. Jeg trenger en eller annen verdi av f å sammenligne mot, men jeg ser ikke hva det skal være.
så, all hjelp mottas med stor takknemlighet!
k
--------
En funksjon [tex]f^2(x) = ax + b[/tex]
a) Grafen til f har et vendepunkt i (1,0). Finn b uttrykt ved a.
Denne er grei, i vendepunkter så er den andrederiverte 0. Det gir [tex]f^2(1) = 0 \equiv 1a + b = 0 \equiv b = -a[/tex]
b) Grafen til f har et stasjonært punkt i x = 0. Vis at f også har et stasjonært punkt for x = 2.
I stasjonære punkter så er den deriverte 0. Det betyr at integralet til [tex]f^2(x)[/tex] skal være null.
[tex]f^1(x) = \int \! (ax + b) \, dx = \frac{1}{2} * ax^2 + bx + c[/tex]
og
[tex]f^1(0) = 0 \equiv \frac{1}{2} * a*0^2 + b*0 + c = 0 \equiv c = 0[/tex]
mao
[tex]f^1(x) = \frac{1}{2} * ax^2 + bx [/tex]
men når jeg skal vise at den har et stasjonært punkt for x = 2 så begynner jeg å rote tror jeg.
[tex]f^1(2) = 0 \equiv \frac{1}{2} * 4a + 2b = 0 \equiv 2a + 2b = 0[/tex]
b = -a, så det blir
[tex] 2a - 2a = 0 \equiv 0 = 0[/tex]
stemmer dette? når jeg får 0 = 0 så pleier det å bety at jeg har gjort noe veldig galt, men jeg ser ikke noen annen måte å vise at f^1(2) = 0.
c) Stigningstallet til vendetangenten er 3. Finn a og vis at [tex]f^1(x) = -3x^2 +6x[/tex]
Denne synes jeg var veldig forvirrende. Tangenten er gitt ved [tex]y = ax + b[/tex] og når x = 1 så er y = 0.
[tex]0 = 3*1 + b \equiv b = -3[/tex]
så tangenten blir [tex]y = 3x - 3[/tex]
men hvordan kan jeg bruke dette i [tex]f^1(x)[/tex] og finne a?
d) Finn funksjonsutrykket til f
ubestemt blir dette [tex] f(x) = -x^3+3x^2 + c [/tex] men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal fastsette c. Jeg trenger en eller annen verdi av f å sammenligne mot, men jeg ser ikke hva det skal være.
så, all hjelp mottas med stor takknemlighet!
k