matematikk.net

Oppgave i kap 6.1 i pensumboka til Analyse 2 på UiO:

"Find the residue at the singularity for f = tan(z). "

Altså når z = pi(0.5+k) , k = +-1, +-2 , ...

Litt usikker på hvordan jeg skal gå frem. Tross alt, tanx har en residue, men den har jo ingen 1/(z-z0)-ledd i Laurent-serien sin...

Siden [tex]\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}[/tex] har den poler av orden 1 for [tex]z=\pi(\frac 12 \pm k)[/tex]. Da kan du bruke at (eksempel i boken) når [tex]f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}[/tex] er to analytiske funksjoner, hvor Q(z) har en "simple zero" ved [tex]z_0[/tex] og [tex]P(z_0)\neq 0[/tex], så er [tex]Res(f(z_0))=\frac{P(z_0)}{Q^,(z_0)}[/tex]

Beviset står i boken, og et veldig likt eksempel (med cot z i stedet for tan z).

Gjorde samme oppgaven selv i dag