matematikk.net

Her er en oppgave fra abelfinalen 1992.

Finn alle positive heltall [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] og [tex]z[/tex] slik at [tex]xyz=3(x+y+z)[/tex]

Løsningen er her: http://abelkonkurransen.no/problems/abe ... sol_no.pdf

Jeg ser hvordan de tenker i den andre linja i svaret [tex]\left(9x\geq ...\right)[/tex] men ser ikke de følgende implikasjonene som vises i fasiten, og ser ikke hvor uttrykket av z i x og y kommer fra. Noen som kan forklare sammenhengen?

La 3(x+y+z)=xyz og ordner slik at [tex]x\leq y\leq z[/tex]

Da er

[tex]3(x+y+z)\leq 3(z+z+z)=9z[/tex],

[tex]3(x+y+z)\geq 3(x+x+x)=9x[/tex]

Så hvis man bruker likheten blir

[tex]9x \leq xyz\leq 9z[/tex]

Deler på x i den første ulikheten og deler på z i den andre gir

[tex]9\leq yz \\ 9\geq xy[/tex]

så [tex]xy\leq9\leq yz[/tex]

Bruker at [tex]x^2\leq xy[/tex] og [tex]yz\leq z^2[/tex];

[tex]x^2\leq xy \leq 9 \leq yz \leq z^2[/tex]

Tar røttene og får den ulikheten som i fasiten.

Resten er bare prøving og feiling med ulike x og y verdier

Ok, nå forstår jeg. Takk for hjelpen.