matematikk.net

Bildet som tilhører oppgaveteksten + ett der jeg har fylt ut litt flere verdier ligger her : http://imgur.com/34ryf.png.

Merk: Meningen med oppgaven er å vise den eksakte verdien for sinus av en viss vinkel, så den kan ikke løses ved hjelp av trig-funksjoner.

Oppgave:
Trekant ABC på figuren er en av de ti kongruente trekantene som en regulær tikant er sammensatt av. Derfor er AC = BC og vinkel C = 36 grader. Punktet D på AC er bestemt av at linja BD halverer vinkel B.

Vi setter AC = BC = r og AB = s.

a) Vis at vi da får [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r - s}[/tex]

Denne er grei, det kan vises ved at trekant ABC er formlik trekant DAB. Siden de er formlike må forholdet [tex]\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}[/tex]. Erstatt dette med r og s for å få [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{AD}[/tex]. AD = AC - DC og DC = BD = AB = s som gir AD = AC - s som igjen gir AD = r - s. Altså [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r - s}[/tex]

b) Vis at [tex] s= \frac{r}{2}(\sqrt{5} - 1)[/tex]

Her sliter jeg. Hvis jeg halverer vinkel ABD så får jeg en rettvinklet trekant med 18 graders vinkel i B, men jeg vet ikke en gang om det hjelper meg spesielt videre.

All hjelp mottas med takk.

k

Du har et uttrykk [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r-s}[/tex]. Du ønsker å omforme dette til et uttrykk for s:

[tex]s^2 = r(r-s)[/tex]

[tex]s^2 + rs - r^2 = 0[/tex]

Hva kan du gjøre nå for å finne et uttrykk for s?

Vektormannen wrote:Du har et uttrykk [tex]\frac{r}{s} = \frac{s}{r-s}[/tex]. Du ønsker å omforme dette til et uttrykk for s:

[tex]s^2 = r(r-s)[/tex]

[tex]s^2 + rs - r^2 = 0[/tex]

Hva kan du gjøre nå for å finne et uttrykk for s?

Takker så meget! Det hjelp definitivt. Jeg vurderte ikke å jobbe videre med det samme utrykket engang, dumme meg.

Jeg får [tex] s= \frac{r}{2}(\pm\sqrt{5} - 1)[/tex] men jeg regner med de bare har forkastet den negative løsningen.

Nok en gang, takk skal du ha.

k

Ja, sidelengden er nok ikke negativ :p

Vektormannen wrote:Ja, sidelengden er nok ikke negativ :p

Jeg har lest et sted at man skal være forsiktig med å forkaste løsninger bare fordi man ikke har en god tolkning som passer sammen med dem

k

I oppgave c) skal man bruke svaret fra oppgave b) til å finne eksakte verdier for [tex]\sin(18^\circ)[/tex] og [tex]\cos(18^\circ)[/tex]. Jeg får da at [tex]\sin(18^\circ)=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)[/tex] og [tex]\cos(18^\circ)=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}[/tex]

I oppgave d) skal man bruke svaret fra oppgave c) til å finne de eksakte verdiene til [tex]\sin(36^\circ)[/tex] og [tex]\cos(36^\circ)[/tex].

For sinusverdien bruker jeg at [tex]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/tex] og får [tex]\frac{1}{8}(\sqrt{5}-1)\sqrt{2(5+\sqrt{5})}[/tex]

Fasiten sier [tex]\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex]. Jeg kan ikke skjønne annet enn at dette er samme svaret skrevet på ulike måter, men hvordan kommer jeg fra mitt svar til fasitens?

Elementær algebra

Velger å heller gi deg vage og uforklarlige hint, for å late som jeg hjelper deg til selvstendig læring,
I stedet for å gi deg svaret så du forstår metoden
Legg heller merke til følgende

• 1) $ \displaystyle \quad
  1 + \sqrt{5} = \sqrt{ \bigl( 1 + \sqrt{5} \, \bigr)^2} = \sqrt{ 6 - 2\sqrt{2\,}\,}
  $.
  
  2) $ \displaystyle \quad
  \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \sqrt{ \frac{1}{4} }
  $

Ved å bruke 1) og 2) kan du skrive om uttrykket ditt.
Skriv alt unntatt $1/4$ under ett rottegn, og gang sammen. Da får kanskje, muligens noe "pent".

Teorien bak er at $(c + \sqrt{d} )^n \: n\in \mathbb{N}$, alltid kan uttrykkes som $a_n + b_n \sqrt{d}$ hvor $a_n , b_n \in \mathbb{Q}$.
Som kan vises eksempelvis ved den binomiske formelen, eller elementær lineær algebra.

Takk skal du ha! Forklaringen var akkurat så ubegripelig at jeg kan håpe at jeg lærte noe

Vi har altså at [tex]\frac{1}{8}(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{6-2\sqrt{5}}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \\ \frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{4}(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})} \\ \frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}[/tex]

Det verste er at du har rett i at det er elementær algebra. Men man må jo ha falkeblikk for å se hvor man skal begynne!

Ligger host, kremt en del faktoriseringsoppgaver i nøtteforaet. Ellers er det bare å fortsatte å spørre om noe er uklart!

Er vanlig dødelig jeg og, bommet første gang jeg skulle faktorisere den oppgaven, så ikke føl deg nedfor.

Takk for det - det kommer jeg nok til å gjøre!

Jeg hadde store planer om å drive med kalkulus det siste halve året, men nå koker det (forhåpentligvis) ned til at jeg bruker resten av juli til å regne meg gjennom de oppgavene i Cosinus R2 jeg ikke fikk gjort da jeg tok R2.