Vise at funksjon er begrenset.
Posted: 28/11-2009 12:55
Har en oppgave her av den teoretiske sorten som sier at vi har to reelle tall
[tex] a < b, f : (a, b) \to \mathbb{R}[/tex] og at f er en deriverbar funksjon. Vis at dersom den deriverte f' er begrenset, så er f det også.
Intuitivt gir dette mening, siden det at den deriverte er begrenset impliserer jo at stigningstallet aldri går mot uendelig på det åpne intervallet (a,b) og dermed må funksjonen også være begrenset.. spørsmålet er hvordan jeg skal vise dette.
Jeg tenker at siden f' er begrenset så eksisterer det en K s.a
[tex]|f^\prime(x)|\leq K\ \ \forall x \in (a,b)[/tex]
Siden f er deriverbar så vet vi jo også at f er kontinuerlig, men siden f ikke er definert på et lukket, begrenset intervall så kan jeg ikke bruke ekstremalverdisetningen direkte på f. Men det at f er deriverbar gjør at jeg kan bruke middelverdisetningen og har at
[tex]f(x)-f(y) = f^\prime(c)(x-y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]
Men vi har jo at [tex]|f^\prime(x)|\leq K[/tex] så
[tex]|f(x)-f(y)| \leq K(x-y) \Leftrightarrow f(y) -K(x-y) \leq f(x) \leq K(x-y) + f(y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]
Her trodde jeg at jeg hadde klart å vise det, men med litt omtanke så varierer jo x og faktoren og [tex](x-y) \to \infty[/tex] når [tex]x \to \infty[/tex] så den funket ikke... Noen som har noen kommentarer og forslag til hvordan dette kan vises?
[tex] a < b, f : (a, b) \to \mathbb{R}[/tex] og at f er en deriverbar funksjon. Vis at dersom den deriverte f' er begrenset, så er f det også.
Intuitivt gir dette mening, siden det at den deriverte er begrenset impliserer jo at stigningstallet aldri går mot uendelig på det åpne intervallet (a,b) og dermed må funksjonen også være begrenset.. spørsmålet er hvordan jeg skal vise dette.
Jeg tenker at siden f' er begrenset så eksisterer det en K s.a
[tex]|f^\prime(x)|\leq K\ \ \forall x \in (a,b)[/tex]
Siden f er deriverbar så vet vi jo også at f er kontinuerlig, men siden f ikke er definert på et lukket, begrenset intervall så kan jeg ikke bruke ekstremalverdisetningen direkte på f. Men det at f er deriverbar gjør at jeg kan bruke middelverdisetningen og har at
[tex]f(x)-f(y) = f^\prime(c)(x-y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]
Men vi har jo at [tex]|f^\prime(x)|\leq K[/tex] så
[tex]|f(x)-f(y)| \leq K(x-y) \Leftrightarrow f(y) -K(x-y) \leq f(x) \leq K(x-y) + f(y) \ \ \forall x,y \in (a,b)[/tex]
Her trodde jeg at jeg hadde klart å vise det, men med litt omtanke så varierer jo x og faktoren og [tex](x-y) \to \infty[/tex] når [tex]x \to \infty[/tex] så den funket ikke... Noen som har noen kommentarer og forslag til hvordan dette kan vises?