matematikk.net

Finn alle komplekse løsninger av ligningen [tex]\: z^5+4z=0\:[/tex].Gi løsningene på formen [tex]\: a+bi \:[/tex]

Prøvde fram slik:
[tex]z \cdot (z^4+4)=0[/tex]
[tex]z=0 , \; z^4+4=0[/tex]
[tex]z^2=u[/tex]
[tex]u^2+4=0[/tex]
[tex]u=\frac{-0+- i \sqrt{4\cdot 1 \cdot 4-0^2}}{2 \cdot 1}[/tex]
[tex]u=+- 2i[/tex]
[tex]z^2=+- 2i[/tex]

Det gir modulus r=2 og argument [tex]\: \frac{\pi}{2}[/tex].
[tex]z=2e^{\frac{i\pi}{2}}[/tex]
Gir en rot:
[tex]w_0=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}=1+i[/tex]

Er løsningen 1+i ?Hvis nei, hvordan kommer jeg frem til riktig svar?

På forhånd takk!

Hvis du skriver [tex]z^4 = -4 = 4e^{i \pi}[/tex] kan du finne alle røttene av denne direkte uten å gå veien om andregradsliningen etc... Husker du hvordan?

[tex]1 + i[/tex] er løsning hvis og bare hvis [tex]P(1+i) = 0[/tex]. Har du en rot vet du vel kanskje også at den konjugerte også er en rot?

Vel da får jo man disse 4 røttene;
[tex]z^4=4e^{i\pi}[/tex]

[tex]w_0=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}=1+i[/tex]
Så observerte jeg at [tex]\: \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}[/tex]
Og det gir: [tex]\: e^{\frac{i\pi}{2}}=i[/tex]
Så man ganger bare videre med i med det man får altså, resten av løsningene er:
[tex]w_1= w_0 \cdot i= (1+i) \cdot i=-1+i[/tex]
[tex]w_2=w_1 \cdot i=-1-i[/tex]
[tex]w_3=w_2 \cdot i = 1-i[/tex]
To av dem er konjugerte av to av de resten.