Page 1 of 1

Kompleks og reel faktorisering

Posted: 21/12-2009 18:08
by Wentworth
[tex]z^6-4z^3+4[/tex]

Man må jo finne røttene til denne likningen for å skrive den relle og den komplekse faktoriseringen.

Hvordan finner jeg disse røttene?

Posted: 21/12-2009 18:18
by Nebuchadnezzar
[tex]{z^6} - 4{z^3} + 4 = 0 [/tex]

[tex] u = {z^3} [/tex]

[tex] {u^2} - 4u + 4 = 0 [/tex]

[tex] {\left( {u - 2} \right)^2} = 0 [/tex]

[tex] {z^3} = 2[/tex]

Posted: 21/12-2009 18:55
by FredrikM
Husk multiplisiteten når du substituerer.

Posted: 21/12-2009 19:06
by Nebuchadnezzar
Forstår ikke helt hva du mener, litt over mitt hodet.

Men den eneste reele roten jeg kan se er [tex]\sqrt[3]{2}[/tex]
Som var det Wentworth va ute etter, var det ikke det?

Posted: 21/12-2009 19:13
by Karl_Erik
Det FredrikM sier er at roten du fant ved substitusjon har multiplisitet to (dvs at det er en 'dobbeltrot') i 'substitusjonslikningen'. Du har helt rett i at [tex]z^3=2[/tex] gir alle løsninger av likningen, men husk at alle sammen vil ha multiplisitet to.

Posted: 21/12-2009 22:30
by Wentworth
Vel jeg var ute etter den komplekse og den reele faktoriseringen som jeg fant nå ved å finne røttene til den reele ligningen.Og vi har jo lemmaet at : I en reel ligning , hvis r er en rot er også den konjugerte (r med strek over) også en rot. Dermed har vi da [tex]\: (z- \sqrt[3]{2})(z+\sqrt[3]{2}) \:[/tex] altså den totale multiplisiteten for disse to konjugerte røttene er 1+1=2. Vi finner også at [tex]\: (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4}) \:[/tex]er en rot i den reele ligningen.Men fra lemmaet har vi at da er også [tex]\: (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4}) \:[/tex]den konjugerte av denne en løsning, dermed har vi da : [tex]\: (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4})^2 \:[/tex].

Den reele faktoriseringen blir altså:

[tex]\: (z-\sqrt[3]{2})^2 (z^2 +\sqrt[3]{2}z+\sqrt[3]{4})^2 \:[/tex]

Som matematikere sier: <<Vi teller røttene med multiplisitet>> :P

Vi ser at den totale multiplisiteteten er lik 6. Og det er jo en sjettegradsligning vi har. :) :D

Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)

Posted: 22/12-2009 00:00
by Realist1
Wentworth wrote:Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Hvorfor vil du være guru?

Posted: 22/12-2009 01:31
by FredrikM
Wentworth wrote:Og vi har jo lemmaet at : I en reel ligning , hvis r er en rot er også den konjugerte (r med strek over) også en rot. Dermed har vi da [tex]\: (z- \sqrt[3]{2})(z+\sqrt[3]{2}) \:[/tex] altså den totale multiplisiteten for disse to konjugerte røttene er 1+1=2.
Dette gir ikke mye mening. Husk at å konjugere ikke er det samme som å gange med minus én.

Posted: 22/12-2009 18:43
by Wentworth
Realist1 wrote:
Wentworth wrote:Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Hvorfor vil du være guru?
For jeg har fortjent den! :wink:

Posted: 22/12-2009 18:46
by Wentworth
FredrikM wrote:
Wentworth wrote:Og vi har jo lemmaet at : I en reel ligning , hvis r er en rot er også den konjugerte (r med strek over) også en rot. Dermed har vi da [tex]\: (z- \sqrt[3]{2})(z+\sqrt[3]{2}) \:[/tex] altså den totale multiplisiteten for disse to konjugerte røttene er 1+1=2.
Dette gir ikke mye mening. Husk at å konjugere ikke er det samme som å gange med minus én.
Den gir god mening til meg, lemma 3.5.3 tom lindstrøm kalkulus(du har jo lest den du :) )! :wink:

Jeg vet det Fredrik, det er ikke det samme som å gange med minus. Hvis du tenker på a+ib er da a-ib den konjugerte til a+ib.Hvis du hadde ganget a+ib med minus 1 får man -a-ib og det blir jo feil. Men kanskje en påminnelse til de andre. :)

Posted: 22/12-2009 19:10
by Realist1
Wentworth wrote:
Realist1 wrote:
Wentworth wrote:Jeg håper jeg får status som guru som julegave fra moderatorene eller administratoren. :)
Hvorfor vil du være guru?
For jeg har fortjent den! :wink:
Hvordan?

Posted: 22/12-2009 19:35
by Wentworth
Realist1 wrote:
Wentworth wrote:
Realist1 wrote: Hvorfor vil du være guru?
For jeg har fortjent den! :wink:
Hvordan?
Det er en intern privatsak mellom admin eller moderatorene isåfall som jeg tror dem selv innser at det er på tide med en høyere rangering enn den nåværende, Realist. :) :wink:

Posted: 23/12-2009 00:15
by Realist1
Wentworth wrote:
Realist1 wrote:
Wentworth wrote: For jeg har fortjent den! :wink:
Hvordan?
Det er en intern privatsak mellom admin eller moderatorene isåfall som jeg tror dem selv innser at det er på tide med en høyere rangering enn den nåværende, Realist. :) :wink:
Hehe, ok.