matematikk.net

Hei!

Finn røttene til dette polynomet:

[tex]z^4+2z^3+4z^2+2z+3[/tex]

Prøvde og fant to av dem:
Fant at i og -i er to røtter som er en konsekvens av at [tex]\: z=e^{\frac{\pi}{2}} \:[/tex]

Prøvde videre å finne de andre røttene til denne 4.gradslikningen ved å sette:

r=1

[tex]w_{k}= r^{\frac{1}{4}}e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k }{4}}\:[/tex]. Denne burde gi meg det neste rot,men det gjør den ikke.

Hvordan finner jeg neste rot enn de to konjugerte røttene som jeg oppga i begynnelsen av innlegget?


Hadde satt pris på den hjelp det er å få!

Ettersom [tex]z = \pm i[/tex] er to av røttene, må dette fjerdegradspolynomet være delelig med

[tex](z - i)(z + i) = z^2 - i^2 = z^2 + 1[/tex].

Polynomdivisjon gir

[tex]z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 2z + 3 \: : \: z^2 + 1 \:=\: z^2 + 2z + 3[/tex].

Herav følger at de to siste røttene til fjerdegradspolynomet er [tex]z = -1 \pm \sqrt{2}i.[/tex]

Men hvorfor går det ikke ann å finne ved bruk av metoden som jeg henviser til? Det har funka på de andre polynomene, så hva er så spesielt med denne?

Nå er ikke jeg helt sikker på om jeg har fått faktorisert riktig, men om man faktoriserer uttrykket får man i følge utregningen min:

[tex](z^2+1)(z^2+2z+3) = 0[/tex]

dermed får man de løsningene du fant ved

z= +-[symbol:rot]-1 = +- i

[tex]z^2+2z+3 = 0[/tex]

[tex]z=\frac{-2+-\sqrt{2^2-4*1*3}}{2*1}[/tex]

[tex]z=\frac{-2+-\sqrt{-8}}{2*1}[/tex]

[tex]z=-1 + \sqrt{-2} = -1 + i\sqrt{2}[/tex]
[tex]z=-1 - \sqrt{-2} = -1 - i\sqrt{2}[/tex]

okey, litt sen

Ok, den faktoriseringen Solar Plexus kom med digget jeg, awesome.

Men da jeg visste at i er en løsning for det polynomet så regnet jeg ut og fant r=1.Dette brukte jeg videre til å finne vinkelen som var : [tex]\: \frac{\pi}{2} \:[/tex]. Og dermed som alle andre utregninger av polynomer benyttet jeg også denne gang anledning til å bruke formelen som følger:

[tex]w_{k}= r^{\frac{1}{n}}e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k }{n}}\: \:[/tex] der altså r=1 og k=1,2,3,4. Og der n stå for n-te rot som er lik 4. Dette gikk jeg utifra skulle gi meg de to siste konjugerte løsningene som Plexus viser til.

Mitt spørsmål er:
Hvorfor er det ikke mulig å bruke denne nevnte formelen til å finne løsningene for polynomet som jeg har brukt på alle andre polynomer hittil?

Altså hvorfor kan man ikke sette k=1,2,3,4. for å finne alle de fire løsningene?

Wentworth wrote:Ok, den faktoriseringen Solar Plexus kom med digget jeg, awesome.

Men da jeg visste at i er en løsning for det polynomet så regnet jeg ut og fant r=1.Dette brukte jeg videre til å finne vinkelen som var : [tex]\: \frac{\pi}{2} \:[/tex]. Og dermed som alle andre utregninger av polynomer benyttet jeg også denne gang anledning til å bruke formelen som følger:

[tex]w_{k}= r^{\frac{1}{n}}e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k }{n}}\: \:[/tex] der altså r=1 og k=1,2,3,4. Og der n stå for n-te rot som er lik 4. Dette gikk jeg utifra skulle gi meg de to siste konjugerte løsningene som Plexus viser til.

Mitt spørsmål er:
Hvorfor er det ikke mulig å bruke denne nevnte formelen til å finne løsningene for polynomet som jeg har brukt på alle andre polynomer hittil?

Altså hvorfor kan man ikke sette k=1,2,3,4. for å finne alle de fire løsningene?

Nå tror jeg du blander litt sammen. Den formelen der gir deg fjerderøttene av et tall. Om du hadde visst at [tex]z^4=1[/tex] kunne du sagt at løsningene er fjerderøttene til [tex]1[/tex] og brukt formelen for å finne dem, men det er ikke det oppgaven spør deg om. Oppgaven ber deg finne røttene av et polynom, og du må da ty til andre måter for å finne dem, som ved polynomdivisjon og 'konjugatlemmaet' du har referert til tidligere om hvordan komplekse røtter av reelle polynomer opptrer i konjugerte par.

Kort sagt er altså grunnen til at metoden du snakker om ikke funker at du bruker den på 'feil type oppgaver - noen polynomer kan du riktignok finne røttene av på den måten ved å omforme dem til likninger på formen [tex]z^n=a[/tex], men det har du ikke gjort her.

Karl Erik: Konge svar det her må jeg si.Helt enig! Gul jod!