Page 1 of 1
Polynom
Posted: 22/12-2009 20:22
by Wentworth
Hei!
Finn røttene til dette polynomet:
[tex]z^4+2z^3+4z^2+2z+3[/tex]
Prøvde og fant to av dem:
Fant at i og -i er to røtter som er en konsekvens av at [tex]\: z=e^{\frac{\pi}{2}} \:[/tex]
Prøvde videre å finne de andre røttene til denne 4.gradslikningen ved å sette:
r=1
[tex]w_{k}= r^{\frac{1}{4}}e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k }{4}}\:[/tex]. Denne burde gi meg det neste rot,men det gjør den ikke.
Hvordan finner jeg neste rot enn de to konjugerte røttene som jeg oppga i begynnelsen av innlegget?
Hadde satt pris på den hjelp det er å få!
Posted: 22/12-2009 21:29
by Solar Plexsus
Ettersom [tex]z = \pm i[/tex] er to av røttene, må dette fjerdegradspolynomet være delelig med
[tex](z - i)(z + i) = z^2 - i^2 = z^2 + 1[/tex].
Polynomdivisjon gir
[tex]z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 2z + 3 \: : \: z^2 + 1 \:=\: z^2 + 2z + 3[/tex].
Herav følger at de to siste røttene til fjerdegradspolynomet er [tex]z = -1 \pm \sqrt{2}i.[/tex]
Posted: 22/12-2009 21:32
by Wentworth
Men hvorfor går det ikke ann å finne ved bruk av metoden som jeg henviser til? Det har funka på de andre polynomene, så hva er så spesielt med denne?
Posted: 22/12-2009 21:33
by kimjonas
Nå er ikke jeg helt sikker på om jeg har fått faktorisert riktig, men om man faktoriserer uttrykket får man i følge utregningen min:
[tex](z^2+1)(z^2+2z+3) = 0[/tex]
dermed får man de løsningene du fant ved
z= +-[symbol:rot]-1 = +- i
[tex]z^2+2z+3 = 0[/tex]
[tex]z=\frac{-2+-\sqrt{2^2-4*1*3}}{2*1}[/tex]
[tex]z=\frac{-2+-\sqrt{-8}}{2*1}[/tex]
[tex]z=-1 + \sqrt{-2} = -1 + i\sqrt{2}[/tex]
[tex]z=-1 - \sqrt{-2} = -1 - i\sqrt{2}[/tex]
okey, litt sen

Posted: 22/12-2009 21:47
by Wentworth
Ok, den faktoriseringen Solar Plexus kom med digget jeg, awesome.
Men da jeg visste at i er en løsning for det polynomet så regnet jeg ut og fant r=1.Dette brukte jeg videre til å finne vinkelen som var : [tex]\: \frac{\pi}{2} \:[/tex]. Og dermed som alle andre utregninger av polynomer benyttet jeg også denne gang anledning til å bruke formelen som følger:
[tex]w_{k}= r^{\frac{1}{n}}e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k }{n}}\: \:[/tex] der altså r=1 og k=1,2,3,4. Og der n stå for n-te rot som er lik 4. Dette gikk jeg utifra skulle gi meg de to siste konjugerte løsningene som Plexus viser til.
Mitt spørsmål er:
Hvorfor er det ikke mulig å bruke denne nevnte formelen til å finne løsningene for polynomet som jeg har brukt på alle andre polynomer hittil?
Altså hvorfor kan man ikke sette k=1,2,3,4. for å finne alle de fire løsningene?
Posted: 23/12-2009 01:03
by Karl_Erik
Wentworth wrote:Ok, den faktoriseringen Solar Plexus kom med digget jeg, awesome.
Men da jeg visste at i er en løsning for det polynomet så regnet jeg ut og fant r=1.Dette brukte jeg videre til å finne vinkelen som var : [tex]\: \frac{\pi}{2} \:[/tex]. Og dermed som alle andre utregninger av polynomer benyttet jeg også denne gang anledning til å bruke formelen som følger:
[tex]w_{k}= r^{\frac{1}{n}}e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k }{n}}\: \:[/tex] der altså r=1 og k=1,2,3,4. Og der n stå for n-te rot som er lik 4. Dette gikk jeg utifra skulle gi meg de to siste konjugerte løsningene som Plexus viser til.
Mitt spørsmål er:
Hvorfor er det ikke mulig å bruke denne nevnte formelen til å finne løsningene for polynomet som jeg har brukt på alle andre polynomer hittil?
Altså hvorfor kan man ikke sette k=1,2,3,4. for å finne alle de fire løsningene?
Nå tror jeg du blander litt sammen. Den formelen der gir deg fjerderøttene av et tall. Om du hadde visst at [tex]z^4=1[/tex] kunne du sagt at løsningene er fjerderøttene til [tex]1[/tex] og brukt formelen for å finne dem, men det er ikke det oppgaven spør deg om. Oppgaven ber deg finne røttene av et polynom, og du må da ty til andre måter for å finne dem, som ved polynomdivisjon og 'konjugatlemmaet' du har referert til tidligere om hvordan komplekse røtter av reelle polynomer opptrer i konjugerte par.
Kort sagt er altså grunnen til at metoden du snakker om ikke funker at du bruker den på 'feil type oppgaver - noen polynomer kan du riktignok finne røttene av på den måten ved å omforme dem til likninger på formen [tex]z^n=a[/tex], men det har du ikke gjort her.
Posted: 23/12-2009 12:38
by Wentworth